Một vật khối lượng 2 kg có thể dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát với tần số góc là 4 rad/s. Để kích thích vật dao động điều hoà, tại thời điểm t=0, kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức liên quan đến dao động điều hòa. ### a) Động năng của vật tại vị trí cân bằng Tại vị trí cân bằng, toàn bộ năng lượng của vật là động năng. Động năng (K) được tính bằng công thức: \[ K = \frac{1}{2} m v^2 \] Trong đó: - \( m = 2 \, \text{kg} \) - \( v = 1 \, \text{m/s} \) Thay số vào công thức: \[ K = \frac{1}{2} \times 2 \times (1)^2 = 1 \, \text{J} \] **Đáp án:** Động năng của vật tại vị trí cân bằng là 1 J. ### b) Biên độ dao động của vật Tổng năng lượng (E) của hệ thống được tính bằng tổng động năng và thế năng tại vị trí kéo ra khỏi vị trí cân bằng. Tại thời điểm t=0, vật được kéo ra 10 cm và có vận tốc 1 m/s. Tổng năng lượng được tính bằng: \[ E = K + U \] Trong đó, thế năng (U) tại vị trí kéo ra là: \[ U = \frac{1}{2} k A^2 \] Với \( k = m \omega^2 \) và \( \omega = 4 \, \text{rad/s} \): \[ k = 2 \times (4)^2 = 32 \, \text{N/m} \] Thế năng tại vị trí kéo ra 10 cm (0.1 m): \[ U = \frac{1}{2} \times 32 \times (0.1)^2 = 0.16 \, \text{J} \] Tổng năng lượng: \[ E = 1 + 0.16 = 1.16 \, \text{J} \] Biên độ dao động (A) được tính bằng: \[ E = \frac{1}{2} k A^2 \] Thay \( E \) và \( k \): \[ 1.16 = \frac{1}{2} \times 32 \times A^2 \] Giải phương trình: \[ A^2 = \frac{1.16 \times 2}{32} = \frac{2.32}{32} = 0.0725 \] \[ A = \sqrt{0.0725} \approx 0.27 \, \text{m} \] **Đáp án:** Biên độ dao động của vật là khoảng 0.27 m. ### c) Tỉ số động năng và thế năng tại vị trí x = 15 cm Tại vị trí x = 15 cm (0.15 m), ta tính thế năng (U) và động năng (K). Thế năng tại x = 15 cm: \[ U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 32 \times (0.15)^2 = \frac{1}{2} \times 32 \times 0.0225 = 0.36 \, \text{J} \] Động năng tại vị trí này được tính từ tổng năng lượng: \[ K = E - U = 1.16 - 0.36 = 0.8 \, \text{J} \] Tỉ số động năng và thế năng: \[ \frac{K}{U} = \frac{0.8}{0.36} \approx 2.22 \] **Đáp án:** Tỉ số động năng và thế năng tại vị trí x = 15 cm là khoảng 2.22. ### d) Tốc độ của vật tại vị trí mà động năng bằng 5/11 thế năng Gọi động năng là K và thế năng là U. Ta có: \[ K = \frac{5}{11} U \] Tổng năng lượng: \[ E = K + U = \frac{5}{11} U + U = \frac{16}{11} U \] Từ đó, ta có: \[ U = \frac{11}{16} E = \frac{11}{16} \times 1.16 = 0.805 \, \text{J} \] Từ thế năng, ta tính được vị trí x: \[ U = \frac{1}{2} k x^2 \] \[ 0.805 = \frac{1}{2} \times 32 \times x^2 \] Giải phương trình: \[ x^2 = \frac{0.805 \times 2}{32} = \frac{1.61}{32} \approx 0.0503 \] \[ x \approx \sqrt{0.0503} \approx 0.224 \, \text{m} \] Tính động năng: \[ K = E - U = 1.16 - 0.805 = 0.355 \, \text{J} \] Tính vận tốc: \[ K = \frac{1}{2} m v^2 \] \[ 0.355 = \frac{1}{2} \times 2 \times v^2 \] Giải phương trình: \[ v^2 = 0.355 \] \[ v \approx \sqrt{0.355} \approx 0.595 \, \text{m/s} \] **Đáp án:** Tốc độ của vật tại vị trí mà động năng bằng 5/11 thế năng là khoảng 0.595 m/s.