Aaaaaaaaaaaaaa

Câu 32. Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm? Ta thấy mẫu số liệu đã cho được chia thành các khoảng (nhóm) sau: 1. [150; 152) 2. [152; 154) 3. [154; 156) 4. [156; 158) 5. [158; 160) 6. [160; 162) 7. [162; 168) Như vậy, mẫu số liệu trên có 7 nhóm. Đáp án đúng là: C. 7 Câu 33. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho các biểu thức cosin. Bước 1: Xác định các biểu thức cần biến đổi. \[ M = \cos x + \cos 2x + \cos 3x \] Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Công thức biến đổi tổng thành tích cho hai cosin là: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \] Áp dụng công thức này cho $\cos x + \cos 3x$: \[ \cos x + \cos 3x = 2 \cos \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \cos \left( \frac{x - 3x}{2} \right) \] \[ \cos x + \cos 3x = 2 \cos (2x) \cos (-x) \] \[ \cos x + \cos 3x = 2 \cos (2x) \cos (x) \] (vì $\cos(-x) = \cos(x)$) Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ M = 2 \cos (2x) \cos (x) + \cos (2x) \] Bước 4: Nhóm các hạng tử có chứa $\cos (2x)$: \[ M = \cos (2x) (2 \cos (x) + 1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~M = \cos 2x (2 \cos x + 1)} \] Câu 34. Để xác định dãy số giảm, ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng tiếp theo trong dãy có nhỏ hơn số hạng trước đó hay không. A. \(1; 1; 1; 1; 1; 1; \ldots\) Dãy này là dãy hằng, mỗi số hạng đều bằng nhau, do đó không phải là dãy số giảm. B. \(1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \ldots\) Ta thấy: - \(1 > \frac{1}{2}\) - \(\frac{1}{2} > \frac{1}{4}\) - \(\frac{1}{4} > \frac{1}{8}\) - \(\frac{1}{8} > \frac{1}{16}\) Mỗi số hạng tiếp theo nhỏ hơn số hạng trước đó, do đó đây là dãy số giảm. C. \(1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; -\frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \ldots\) Ta thấy: - \(1 > -\frac{1}{2}\) - \(-\frac{1}{2} < \frac{1}{4}\) - \(\frac{1}{4} > -\frac{1}{8}\) - \(-\frac{1}{8} < \frac{1}{16}\) Dãy này không tuân theo quy luật giảm liên tục vì các số hạng thay đổi dấu, do đó không phải là dãy số giảm. D. \(2; 4; 6; 8; 10; \ldots\) Ta thấy: - \(2 < 4\) - \(4 < 6\) - \(6 < 8\) - \(8 < 10\) Mỗi số hạng tiếp theo lớn hơn số hạng trước đó, do đó đây là dãy số tăng, không phải là dãy số giảm. Kết luận: Dãy số giảm là dãy số B. \(1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \ldots\) Câu 35. Để xác định dãy số nào là cấp số nhân, ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng của dãy số có tỉ lệ với số hạng liền trước nó hay không. A. $\left\{\begin{array}{l} u_1 = 1 \\ u_n = n + 3, \quad n \geq 1 \end{array}\right.$ Ta thấy rằng $u_n = n + 3$, tức là mỗi số hạng của dãy số phụ thuộc vào chỉ số $n$. Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân vì không có tỉ số chung cố định giữa các số hạng liên tiếp. B. $\left\{\begin{array}{l} u_1 = -1 \\ u_{n+1} = 3u_n, \quad n \geq 1 \end{array}\right.$ Ta thấy rằng $u_{n+1} = 3u_n$, tức là mỗi số hạng của dãy số gấp 3 lần số hạng liền trước nó. Điều này cho thấy dãy số này là cấp số nhân với tỉ số chung là 3. C. $\left\{\begin{array}{l} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + 1, \quad n \geq 1 \end{array}\right.$ Ta thấy rằng $u_{n+1} = u_n + 1$, tức là mỗi số hạng của dãy số hơn số hạng liền trước nó 1 đơn vị. Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân vì không có tỉ số chung cố định giữa các số hạng liên tiếp. D. $\left\{\begin{array}{l} u_1 = -2 \\ u_{n+1} = u_n + 4, \quad n \geq 1 \end{array}\right.$ Ta thấy rằng $u_{n+1} = u_n + 4$, tức là mỗi số hạng của dãy số hơn số hạng liền trước nó 4 đơn vị. Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân vì không có tỉ số chung cố định giữa các số hạng liên tiếp. Kết luận: Dãy số B là cấp số nhân. Đáp án: B. Câu 36: a) Ta có $\cos\alpha=-\frac45$ và $\pi< \alpha< \frac{3\pi}2.$ Do đó, $\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$ Từ đó, $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$ Áp dụng công thức cộng cho tang, ta có: $\tan(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\alpha + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\alpha\tan\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{3}{4} + 1}{1 - \frac{3}{4} \cdot 1} = \frac{\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}} = 7$ Vậy $\tan(\alpha + \frac{\pi}{4}) = 7$ b) Giải phương trình $\sin4x + \cos3x - \cos x = 0$ Ta sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin4x + \cos3x - \cos x = 0$ $\sin4x + (\cos3x - \cos x) = 0$ Áp dụng công thức $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$, ta có: $\cos3x - \cos x = -2\sin\left(\frac{3x+x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x-x}{2}\right) = -2\sin(2x)\sin(x)$ Do đó, phương trình trở thành: $\sin4x - 2\sin(2x)\sin(x) = 0$ $\sin4x = 2\sin(2x)\sin(x)$ Áp dụng công thức $\sin2A = 2\sin A \cos A$, ta có: $\sin4x = 2(2\sin x \cos x)\sin x = 4\sin^2 x \cos x$ Phương trình trở thành: $4\sin^2 x \cos x - 2\sin(2x)\sin(x) = 0$ $4\sin^2 x \cos x - 4\sin^2 x \cos x = 0$ $0 = 0$ Phương trình này luôn đúng, do đó mọi giá trị của $x$ đều là nghiệm của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là $x \in \mathbb{R}$ Câu 37: Giá của mét khoan thứ hai là $100000 + 30000 = 130000$ đồng. Giá của mét khoan thứ ba là $130000 + 30000 = 160000$ đồng. Cứ như vậy, ta nhận thấy rằng giá của mỗi mét khoan tiếp theo tăng thêm 30000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Ta có thể coi đây là dãy số cộng với công sai là 30000 đồng. Ta cần tính tổng của 20 số hạng trong dãy số này. Công thức tính tổng của n số hạng trong dãy số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] Trong đó: - \( n \) là số lượng số hạng. - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên. - \( a_n \) là số hạng cuối cùng. Áp dụng vào bài toán: - \( n = 20 \) - \( a_1 = 100000 \) đồng - \( a_{20} = 100000 + (20 - 1) \times 30000 = 100000 + 19 \times 30000 = 100000 + 570000 = 670000 \) đồng Tính tổng số tiền phải thanh toán: \[ S_{20} = \frac{20}{2} \times (100000 + 670000) = 10 \times 770000 = 7700000 \] đồng Vậy sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền là 7700000 đồng. Câu 38. a) Tính doanh thu trung bình và cho biết ý nghĩa của giá trị thu được Trước tiên, ta tính doanh thu trung bình của 20 ngày bằng cách lấy tổng doanh thu của tất cả các ngày chia cho số ngày. Ta có: - Số ngày có doanh thu từ [5; 7) triệu đồng là 2 ngày. - Số ngày có doanh thu từ [7; 9) triệu đồng là 7 ngày. - Số ngày có doanh thu từ [9; 11) triệu đồng là 7 ngày. - Số ngày có doanh thu từ [11; 13) triệu đồng là 3 ngày. - Số ngày có doanh thu từ [13; 15) triệu đồng là 1 ngày. Ta tính trung bình cộng của doanh thu như sau: \[ \text{Doanh thu trung bình} = \frac{(6 \times 2) + (8 \times 7) + (10 \times 7) + (12 \times 3) + (14 \times 1)}{20} \] \[ = \frac{(12) + (56) + (70) + (36) + (14)}{20} \] \[ = \frac{188}{20} = 9,4 \text{ (triệu đồng)} \] Ý nghĩa của giá trị này là doanh thu trung bình mỗi ngày của cửa hàng trong 20 ngày là 9,4 triệu đồng. b) Tìm Tứ phân vị của mẫu số liệu Tứ phân vị là các giá trị chia dãy số thành 4 phần bằng nhau. Ta sẽ tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất), Q2 (tứ phân vị thứ hai - cũng là trung vị), và Q3 (tứ phân vị thứ ba). - Q1: Chia dãy số thành 2 phần bằng nhau, sau đó chia phần đầu tiên thành 2 phần bằng nhau nữa. Q1 nằm ở giữa phần này. - Q2: Trung vị của dãy số, chia dãy số thành 2 phần bằng nhau. - Q3: Chia dãy số thành 2 phần bằng nhau, sau đó chia phần thứ hai thành 2 phần bằng nhau nữa. Q3 nằm ở giữa phần này. Ta có 20 ngày, nên: - Q1 nằm ở vị trí $\frac{20}{4} = 5$ (vị trí thứ 5) - Q2 nằm ở vị trí $\frac{20}{2} = 10$ (vị trí thứ 10) - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3 \times 20}{4} = 15$ (vị trí thứ 15) Ta xác định các giá trị tại các vị trí này: - Vị trí thứ 5 thuộc khoảng [7; 9), do đó Q1 = 8 triệu đồng. - Vị trí thứ 10 thuộc khoảng [9; 11), do đó Q2 = 10 triệu đồng. - Vị trí thứ 15 thuộc khoảng [9; 11), do đó Q3 = 10 triệu đồng. Vậy, tứ phân vị của mẫu số liệu là: - Q1 = 8 triệu đồng - Q2 = 10 triệu đồng - Q3 = 10 triệu đồng