Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán...

SaChi

Bài toán về hàm cầu và tối ưu hóa doanh thu, lợi nhuận

a) Tìm hàm cầu

Giải thích:

• Hàm cầu: Mô tả mối quan hệ giữa giá bán (p) và số lượng hàng hóa mà người tiêu dùng sẵn sàng mua (x).
• Giả thiết:Khi p = 14 (triệu đồng), x = 1000.
• Khi p giảm 0.5 (triệu đồng), x tăng 100.

Giải:

• Hàm cầu có dạng tuyến tính: p = ax + b (với a, b là các hằng số)
• Thay các cặp giá trị (p, x) vào phương trình:14 = 1000a + b
• 13.5 = 1100a + b
• Giải hệ phương trình: Ta được a = -0.005 và b = 19.
• Vậy hàm cầu là: p = -0.005x + 19.

b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?

Doanh thu: R(x) = p*x = (-0.005x + 19)*x = -0.005x^2 + 19x.

Để tìm giá trị x làm cho doanh thu lớn nhất:

• Tính đạo hàm: R'(x) = -0.01x + 19.
• Tìm nghiệm của R'(x) = 0: -0.01x + 19 = 0 => x = 1900.
• Kiểm tra: R''(x) = -0.01 < 0, vậy x = 1900 là điểm cực đại của hàm doanh thu.
• Tìm giá bán tương ứng: p = -0.005*1900 + 19 = 9.5 (triệu đồng).

Kết luận: Công ty nên giảm giá bán xuống còn 9.5 triệu đồng để đạt được doanh thu lớn nhất.

c) Nếu hàm chi phí hàng tuần là C(x) = 12000 - 3x (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?

Lợi nhuận: P(x) = R(x) - C(x) = (-0.005x^2 + 19x) - (12000 - 3x) = -0.005x^2 + 22x - 12000.

Để tìm giá trị x làm cho lợi nhuận lớn nhất:

• Tính đạo hàm: P'(x) = -0.01x + 22.
• Tìm nghiệm của P'(x) = 0: -0.01x + 22 = 0 => x = 2200.
• Kiểm tra: P''(x) = -0.01 < 0, vậy x = 2200 là điểm cực đại của hàm lợi nhuận.
• Tìm giá bán tương ứng: p = -0.005*2200 + 19 = 7 (triệu đồng).

Kết luận: Nhà sản xuất nên đặt giá bán là 7 triệu đồng để đạt được lợi nhuận lớn nhất.