help me , hướng dẫn cách lm giúp e lun nha , ko timi :) Câu 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có:,$a)~(2n-1)^3-(2n-1)$ chia hết cho 8,$b)~n^3+6n^2+8n$ chia hết cho 48

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 3.
a) Ta có $(2n-1)^3-(2n-1)=(2n-1)	imes [(2n-1)^2-1]$
$=(2n-1)	imes (2n-1-1)	imes (2n-1+1)$
$=(2n-1)	imes (2n-2)	imes 2n$
$=2	imes (2n-1)	imes (n-1)	imes n$
Ta thấy trong ba số liên tiếp $n-1, n, 2n-1$ thì có 1 số chẵn nên tích của chúng chia hết cho 2.
Mà 2n chia hết cho 2 nên tích trên chia hết cho $2	imes 2	imes 2=8.$
b) Ta có $n^3+6n^2+8n=n	imes (n^2+6n+8)=n	imes (n+2)	imes (n+4)$
Ta thấy trong ba số liên tiếp $n, n+2, n+4$ thì có 1 số chẵn nên tích của chúng chia hết cho 2.
Mà trong ba số liên tiếp thì có 1 số chia hết cho 3 nên tích trên chia hết cho $2	imes 3=6.$
Mặt khác trong ba số liên tiếp thì có 1 số chia hết cho 4 nên tích trên chia hết cho $2	imes 4=8.$
Do đó tích trên chia hết cho $6	imes 8=48.$

khoi-nguyendao2 · Answer

$\displaystyle a,( 2n-1)^{3} -( 2n-1)$
$\displaystyle =( 2n-1)\left[( 2n-1)^{2} -1^{2}\right]$
$\displaystyle =( 2n-1)(( 2n-1-1)(( 2n-1+1)$
$\displaystyle =2n( 2n-1)( 2n-2)$
$\displaystyle =4n( 2n-1)( n-1) \vdots 4( 1)$
Mà $\displaystyle ( 2n-1)( n-1) =( n+n-1)( n-1) \vdots 2$(2)
Từ 1,2 suy ra $\displaystyle ( 2n-1)^{3} -( 2n-1)$ chia hết cho 8

$\displaystyle b,$ A=n³ + 6n² + 8n = n(n+2)(n+4) (1)
Vì n chẵn nên n=2k ta có:

(1)=8k(k+1)(k+2)

Ta thấy rằng k(k+1)(k+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.

Vậy n³ + 6n² + 8n chia hết cho 6x8=48