Giúp tôi với Bài 6 : Cho phương trình: $x^2+(m+1)x+m-1=0~(1)$,a. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.,b. Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1), tìm m để biểu thức :,$A=x^2_1x_2+x_1x^2_2+4x_1x_2$ đạt giá trị lớn nhất

Question

Accepted Answer

Bài 6:
1) $\displaystyle x^{2} \ +\ ( m\ +\ 1) x\ +\ m\ -\ 1\ =\ 0$
Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\vartriangle \ =\ ( m\ +\ 1)^{2} \ -\ 4( m\ -\ 1)\
=\ m^{2} \ +\ 2m\ +\ 1\ -\ 4m\ +\ 4\
=\ m^{2} \ -\ 2m\ +\ 1\ +\ 4\
=\ ( m\ -\ 1)^{2} \ +\ 4\ \geqslant \ 4\ >\ 0\ \forall x\ \in \ R
\end{array}$
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $\displaystyle \forall x\ \in \ R$
2) Theo Viet, ta có $\displaystyle \begin{cases}
x_{1} \ +\ x_{2} \ =\ -( m\ +\ 1) \ =\ -m\ -\ 1\
x_{1} x_{2} \ =\ m\ -\ 1
\end{cases}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A\ =\ x_{1}^{2} x_{2} \ +\ x_{1} x_{2}^{2} \ +\ 4x_{1} x_{2}\
=\ x_{1} x_{2}( x_{1} \ +\ x_{2} \ +\ 4)\
=\ ( m\ -\ 1)( -m\ -\ 1\ +\ 4)\
=\ ( m\ -\ 1)( 3\ -\ m)\
=\ -m^{2} \ +\ 4m\ -\ 3\
=\ -\left( m^{2} \ -\ 4m\ +\ 3 ight)\
=\ -\left( m^{2} \ -\ 4m\ +\ 4\ -\ 1 ight)\
=\ -\left( m^{2} \ -\ 4m\ +\ 4 ight) \ +\ 1\
=\ -( m\ -\ 2)^{2} \ +\ 1\ \leqslant \ 1
\end{array}$
Vậy GTLN của A là $\displaystyle 1$ khi $\displaystyle m\ =\ 2$