Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung điểm của AB. Kẻ MN vuông góc với CD tại N a) chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật b) gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh O cùng là trung điểm của AC

a) Chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật - Ta biết rằng trong hình chữ nhật ABCD, các góc đều là góc vuông, tức là \(\angle BAD = \angle ADC = 90^\circ\). - Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB. - MN vuông góc với CD tại N, tức là \(\angle MNC = 90^\circ\). - Do đó, \(\angle AMD = 90^\circ\) vì M nằm trên AB và AB vuông góc với AD. - Tứ giác AMND có ba góc vuông (\(\angle AMD = \angle AND = \angle MNC = 90^\circ\)), do đó AMND là hình chữ nhật. b) Chứng minh O là trung điểm của AC - Ta đã biết AMND là hình chữ nhật, do đó MN song song và bằng AD. - Vì O là trung điểm của MN, nên MO = ON. - Trong hình chữ nhật ABCD, AC là đường chéo, và đường chéo của hình chữ nhật chia đôi nhau. - Xét tam giác ACM và tam giác ANM: - AM = MB (vì M là trung điểm của AB) - MN = AD (vì AMND là hình chữ nhật) - \(\angle CAM = \angle DAN\) (góc đồng vị) - Do đó, tam giác ACM và tam giác ANM bằng nhau theo trường hợp cạnh kề hai góc vuông. - Từ đó, ta có CO = OA (vì O là trung điểm của MN và MN = AD). Vậy O là trung điểm của AC. Câu 15: Câu 1: a) Chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật: - Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và AD = BC. - M là trung điểm của AB nên AM = MB. - MN vuông góc với CD tại N nên MN là đường cao hạ từ M xuống CD. - Vì MN vuông góc với CD và AB // CD nên MN cũng vuông góc với AB. - Do đó, AMND là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông và hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. b) Chứng minh O là trung điểm của AC: - O là trung điểm của MN nên MO = ON. - Vì AMND là hình chữ nhật nên AN = MD. - Ta có: AO = OC vì O là trung điểm của MN và MN là đường chéo của hình chữ nhật AMND. - Do đó, O là trung điểm của AC. Câu 2: a) Tìm đa thức biểu thị số tiền Thầy An phải trả cho cửa hàng: - Số tiền ban đầu Thầy An dự định trả là \(xy\) đồng. - Mỗi quyển vở giảm 1000 đồng nên giá mới của mỗi quyển vở là \(y - 1000\) đồng. - Thầy An mua thêm 30 quyển vở nữa nên tổng số quyển vở mua là \(x + 30\). - Số tiền Thầy An phải trả sau khi mua thêm 30 quyển vở là \((x + 30)(y - 1000)\) đồng. b) Tính số tiền Thầy An phải trả, biết Thầy An mua 80 quyển vở với giá tiền mỗi quyển khi chưa giảm giá là 5000 đồng: - Giá mới của mỗi quyển vở là \(5000 - 1000 = 4000\) đồng. - Tổng số quyển vở mua là \(80 + 30 = 110\) quyển. - Số tiền Thầy An phải trả là \(110 \times 4000 = 440000\) đồng. Đáp số: a) Đa thức biểu thị số tiền Thầy An phải trả: \((x + 30)(y - 1000)\) đồng. b) Số tiền Thầy An phải trả: 440000 đồng.