Tìm n để : n^4 -2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 chia hết cho n^4 - 1

Để tìm \( n \) sao cho \( n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 \) chia hết cho \( n^4 - 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện \( n \neq \pm 1 \) vì \( n^4 - 1 = (n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) \) và \( n^2 + 1 \neq 0 \) với mọi \( n \). Bước 2: Ta thấy rằng \( n^4 - 1 \) có thể phân tích thành \( (n^2 - 1)(n^2 + 1) \). Bước 3: Ta sẽ kiểm tra \( n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 \) có thể chia hết cho \( n^4 - 1 \) hay không. Ta có: \[ n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 = (n^4 - 1) - 2n(n^2 - 1) + 2n^2 \] Bước 4: Ta sẽ kiểm tra \( n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 \) có thể chia hết cho \( n^4 - 1 \) bằng cách thử các giá trị \( n \): - Nếu \( n = 0 \): \[ n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 = 0^4 - 2 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1 \] \[ n^4 - 1 = 0^4 - 1 = -1 \] 1 không chia hết cho -1. - Nếu \( n = 2 \): \[ n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 = 2^4 - 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 + 1 = 16 - 16 + 8 - 4 + 1 = 5 \] \[ n^4 - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15 \] 5 không chia hết cho 15. - Nếu \( n = -2 \): \[ n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 = (-2)^4 - 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 2(-2) + 1 = 16 + 16 + 8 + 4 + 1 = 45 \] \[ n^4 - 1 = (-2)^4 - 1 = 16 - 1 = 15 \] 45 chia hết cho 15. Vậy \( n = -2 \) là giá trị thỏa mãn điều kiện \( n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 \) chia hết cho \( n^4 - 1 \). Đáp số: \( n = -2 \)