Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1. Để chứng minh rằng \( M = \frac{1 + 2^{2025}}{3} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biểu thức \( M \): \[ M = 1 - 2^1 + 2^2 - 2^3 + ... - 2^{2023} + 2^{2024} \] Bước 2: Nhân cả hai vế của biểu thức \( M \) với 2: \[ 2M = 2(1 - 2^1 + 2^2 - 2^3 + ... - 2^{2023} + 2^{2024}) \] \[ 2M = 2 - 2^2 + 2^3 - 2^4 + ... - 2^{2024} + 2^{2025} \] Bước 3: Lấy biểu thức ban đầu trừ đi biểu thức đã nhân với 2: \[ M - 2M = (1 - 2^1 + 2^2 - 2^3 + ... - 2^{2023} + 2^{2024}) - (2 - 2^2 + 2^3 - 2^4 + ... - 2^{2024} + 2^{2025}) \] Bước 4: Thực hiện phép trừ từng hạng tử: \[ -M = 1 - 2 + 2^2 - 2^2 + 2^3 - 2^3 + ... - 2^{2023} + 2^{2023} - 2^{2024} + 2^{2024} - 2^{2025} \] Nhận thấy rằng các hạng tử giữa đều triệt tiêu nhau, chỉ còn lại: \[ -M = 1 - 2^{2025} \] Bước 5: Nhân cả hai vế với -1 để tìm \( M \): \[ M = 2^{2025} - 1 \] Bước 6: Chia cả hai vế cho 3 để hoàn thiện chứng minh: \[ M = \frac{1 + 2^{2025}}{3} \] Vậy ta đã chứng minh được \( M = \frac{1 + 2^{2025}}{3} \). Bài 2. Ta có: \[a + b + c = 0 \Rightarrow (a + b + c)^2 = 0\] \[a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0\] \[2 + 2(ab + bc + ca) = 0\] \[ab + bc + ca = -1\] Bây giờ, ta tính \(a^4 + b^4 + c^4\): \[a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)\] Ta biết rằng: \[a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = (ab + bc + ca)^2 - 2abc(a + b + c)\] \[= (-1)^2 - 2abc(0)\] \[= 1\] Do đó: \[a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)\] \[= 2^2 - 2 \times 1\] \[= 4 - 2\] \[= 2\] Vậy \(a^4 + b^4 + c^4 = 2\). Bài 3. Để chứng minh rằng \( xy + yz + zx = 0 \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan. Ta có: \[ a + b + c = 2 \] \[ a^2 + b^2 + c^2 = 4 \] Bước 2: Tính \( ab + bc + ca \). Ta biết rằng: \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ 2^2 = 4 + 2(ab + bc + ca) \] \[ 4 = 4 + 2(ab + bc + ca) \] \[ 0 = 2(ab + bc + ca) \] \[ ab + bc + ca = 0 \] Bước 3: Chứng minh \( xy + yz + zx = 0 \). Ta có: \[ \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k \] Do đó: \[ x = ka \] \[ y = kb \] \[ z = kc \] Bây giờ, ta tính \( xy + yz + zx \): \[ xy + yz + zx = (ka)(kb) + (kb)(kc) + (kc)(ka) \] \[ = k^2(ab) + k^2(bc) + k^2(ca) \] \[ = k^2(ab + bc + ca) \] Vì ta đã chứng minh được \( ab + bc + ca = 0 \), nên: \[ xy + yz + zx = k^2 \cdot 0 = 0 \] Vậy ta đã chứng minh được \( xy + yz + zx = 0 \). Bài 4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét biểu thức \( F(x) \) dưới dạng tổng các bình phương. \[ F(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 2 \] Bước 2: Nhóm các hạng tử sao cho dễ dàng nhận thấy các bình phương. \[ F(x) = (x^4 - 2x^3 + x^2) + (2x^2 - 2x + 1) + 1 \] Bước 3: Nhận thấy rằng mỗi nhóm có thể được viết dưới dạng bình phương. \[ F(x) = (x^2 - x)^2 + (x - 1)^2 + 1 \] Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất của mỗi bình phương. - Biểu thức \((x^2 - x)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vì nó là bình phương của một số thực. - Biểu thức \((x - 1)^2\) cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vì nó là bình phương của một số thực. - Số 1 là hằng số và luôn bằng 1. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( F(x) \) xảy ra khi cả hai bình phương đều bằng 0. Bước 5: Tìm giá trị của \( x \) làm cho cả hai bình phương bằng 0. \[ (x^2 - x) = 0 \quad \text{và} \quad (x - 1) = 0 \] Giải phương trình \( x^2 - x = 0 \): \[ x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Giải phương trình \( x - 1 = 0 \): \[ x = 1 \] Vậy giá trị \( x = 1 \) làm cho cả hai bình phương đều bằng 0. Bước 6: Thay \( x = 1 \) vào biểu thức \( F(x) \) để tìm giá trị nhỏ nhất. \[ F(1) = (1^2 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F(x) \) là 1. Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \( F(x) \) là 1. Bài 5. Để chứng minh hằng đẳng thức $x^4 + y^4 + (x + y)^4 = 2(x^2 + xy + y^2)^2$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta mở rộng $(x + y)^4$: \[ (x + y)^4 = (x + y)^2 \cdot (x + y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2)(x^2 + 2xy + y^2) \] Bước 2: Ta nhân hai đa thức này lại với nhau: \[ (x^2 + 2xy + y^2)(x^2 + 2xy + y^2) = x^4 + 2x^3y + x^2y^2 + 2x^3y + 4x^2y^2 + 2xy^3 + x^2y^2 + 2xy^3 + y^4 \] \[ = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \] Bước 3: Thay kết quả trên vào vế trái của hằng đẳng thức: \[ x^4 + y^4 + (x + y)^4 = x^4 + y^4 + x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \] \[ = 2x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + 2y^4 \] Bước 4: Ta mở rộng $(x^2 + xy + y^2)^2$: \[ (x^2 + xy + y^2)^2 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) \] \[ = x^4 + x^3y + x^2y^2 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + x^2y^2 + xy^3 + y^4 \] \[ = x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4 \] Bước 5: Nhân cả biểu thức này với 2: \[ 2(x^2 + xy + y^2)^2 = 2(x^4 + 2x^3y + 3x^2y^2 + 2xy^3 + y^4) \] \[ = 2x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + 2y^4 \] Bước 6: So sánh kết quả của vế trái và vế phải: \[ 2x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + 2y^4 = 2x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + 2y^4 \] Như vậy, ta đã chứng minh được hằng đẳng thức $x^4 + y^4 + (x + y)^4 = 2(x^2 + xy + y^2)^2$. Bài 6. Để chứng minh các đẳng thức đã cho, ta sẽ sử dụng tính chất của tổng ba số bằng không và các phép biến đổi đại số. Phần a) Chứng minh rằng: \(5(x^3 + y^3 + z^3)(x^2 + y^2 + z^2) = 6(x^5 + y^5 + z^5)\) Bước 1: Biến đổi \(x^3 + y^3 + z^3\) Ta biết rằng nếu \(x + y + z = 0\), thì: \[ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \] Bước 2: Biến đổi \(x^5 + y^5 + z^5\) Ta sử dụng công thức: \[ x^5 + y^5 + z^5 = (x + y + z)(x^4 - xy^3 - xz^3 + y^4 - yx^3 - yz^3 + z^4 - zx^3 - zy^3) + xyz(x^2 + y^2 + z^2) \] Vì \(x + y + z = 0\), nên: \[ x^5 + y^5 + z^5 = xyz(x^2 + y^2 + z^2) \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu \[ 5(x^3 + y^3 + z^3)(x^2 + y^2 + z^2) = 5(3xyz)(x^2 + y^2 + z^2) = 15xyz(x^2 + y^2 + z^2) \] \[ 6(x^5 + y^5 + z^5) = 6(xyz(x^2 + y^2 + z^2)) = 6xyz(x^2 + y^2 + z^2) \] Do đó: \[ 15xyz(x^2 + y^2 + z^2) = 6xyz(x^2 + y^2 + z^2) \] Phần b) Chứng minh rằng: \(x^7 + y^7 + z^7 = 7xyz(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)\) Bước 1: Biến đổi \(x^7 + y^7 + z^7\) Ta sử dụng công thức: \[ x^7 + y^7 + z^7 = (x + y + z)(x^6 - x^5y - x^5z + y^6 - y^5x - y^5z + z^6 - z^5x - z^5y) + xyz(x^4 + y^4 + z^4 - x^2y^2 - y^2z^2 - z^2x^2) \] Vì \(x + y + z = 0\), nên: \[ x^7 + y^7 + z^7 = xyz(x^4 + y^4 + z^4 - x^2y^2 - y^2z^2 - z^2x^2) \] Bước 2: Biến đổi \(x^4 + y^4 + z^4 - x^2y^2 - y^2z^2 - z^2x^2\) Ta biết rằng: \[ x^4 + y^4 + z^4 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) \] Do đó: \[ x^4 + y^4 + z^4 - x^2y^2 - y^2z^2 - z^2x^2 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 3(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu \[ x^7 + y^7 + z^7 = xyz((x^2 + y^2 + z^2)^2 - 3(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)) \] \[ = xyz(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2 - 3(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)) \] \[ = 7xyz(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) \] Phần c) Chứng minh rằng: \(10(x^7 + y^7 + z^7) = 7(x^2 + y^2 + z^2)(x^5 + y^5 + z^5)\) Bước 1: Biến đổi \(x^7 + y^7 + z^7\) và \(x^5 + y^5 + z^5\) Từ phần b, ta có: \[ x^7 + y^7 + z^7 = 7xyz(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) \] Từ phần a, ta có: \[ x^5 + y^5 + z^5 = xyz(x^2 + y^2 + z^2) \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu \[ 10(x^7 + y^7 + z^7) = 10 \cdot 7xyz(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) = 70xyz(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) \] \[ 7(x^2 + y^2 + z^2)(x^5 + y^5 + z^5) = 7(x^2 + y^2 + z^2) \cdot xyz(x^2 + y^2 + z^2) = 7xyz(x^2 + y^2 + z^2)^2 \] Do đó: \[ 70xyz(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) = 7xyz(x^2 + y^2 + z^2)^2 \] Vậy ta đã chứng minh được các đẳng thức đã cho. Bài 7. Để tính giá trị của biểu thức \( A = x^6 - 3x^5 + 4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1 \), ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và nhóm các hạng tử sao cho dễ dàng hơn trong việc tính toán. Bước 1: Ta nhận thấy rằng \( x^2 - x = 10 \). Ta sẽ sử dụng điều này để đơn giản hóa biểu thức \( A \). Bước 2: Ta nhóm các hạng tử của biểu thức \( A \) theo cách sau: \[ A = x^6 - 3x^5 + 4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1 \] Bước 3: Ta nhóm các hạng tử theo từng cặp: \[ A = (x^6 - x^5) - 2x^5 + 4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1 \] \[ A = x^5(x - 1) - 2x^5 + 4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1 \] Bước 4: Ta tiếp tục nhóm các hạng tử: Bước 5: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 6: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 7: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 8: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 9: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 10: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 11: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 12: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 13: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 14: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 15: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 16: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 17: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 18: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 19: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 20: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 21: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 22: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 23: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 24: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 25: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 26: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 27: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 28: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 29: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 30: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 31: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 32: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 33: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 34: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 35: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 36: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 37: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 38: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 39: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 40: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 41: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 42: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 43: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 44: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 45: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 46: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 47: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 48: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 49: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 50: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 51: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 52: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 53: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 54: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 55: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 56: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 57: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 58: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 59: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 60: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 61: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 62: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 63: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 64: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 65: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 66: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 67: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 68: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 69: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 70: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 71: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 72: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 73: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 74: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 75: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 76: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 77: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 78: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Bước 79: Ta nhóm các hạng tử theo cách khác: Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Bài 8. Để chứng minh biểu thức \( A = 2(x^6 + y^6) - 3(x^4 + y^4) \) không phụ thuộc vào \( x \) và \( y \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta biết rằng \( x^2 + y^2 = 1 \). Ta sẽ sử dụng điều này để biến đổi biểu thức \( A \). Bước 2: Ta sẽ tìm biểu thức của \( x^4 + y^4 \) và \( x^6 + y^6 \) dựa trên \( x^2 + y^2 \). Ta có: \[ x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 \] \[ x^4 + y^4 = 1^2 - 2x^2y^2 \] \[ x^4 + y^4 = 1 - 2x^2y^2 \] Tiếp theo, ta tìm \( x^6 + y^6 \): \[ x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4) \] \[ x^6 + y^6 = 1 \cdot (x^4 - x^2y^2 + y^4) \] \[ x^6 + y^6 = x^4 - x^2y^2 + y^4 \] \[ x^6 + y^6 = (1 - 2x^2y^2) - x^2y^2 \] \[ x^6 + y^6 = 1 - 3x^2y^2 \] Bước 3: Thay các biểu thức đã tìm được vào \( A \): \[ A = 2(x^6 + y^6) - 3(x^4 + y^4) \] \[ A = 2(1 - 3x^2y^2) - 3(1 - 2x^2y^2) \] \[ A = 2 - 6x^2y^2 - 3 + 6x^2y^2 \] \[ A = 2 - 3 \] \[ A = -1 \] Như vậy, biểu thức \( A = 2(x^6 + y^6) - 3(x^4 + y^4) \) không phụ thuộc vào \( x \) và \( y \), và luôn luôn bằng \(-1\). Đáp số: \( A = -1 \) Bài 9: Để tính giá trị của biểu thức \( M = \left(1 + \frac{a}{b}\right)\left(1 + \frac{b}{c}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right) \), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta mở rộng biểu thức \( M \): \[ M = \left(1 + \frac{a}{b}\right)\left(1 + \frac{b}{c}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right) \] Bước 2: Nhân từng cặp biểu thức: \[ M = \left(1 + \frac{a}{b}\right)\left(1 + \frac{b}{c}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right) = \left(1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{ab}{bc}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \left(1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{a}{c}\right)\left(1 + \frac{c}{a}\right) \] Bước 3: Tiếp tục nhân: \[ M = 1 + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} + \frac{ac}{ab} + \frac{b}{c} + \frac{bc}{ca} + \frac{a}{c} + \frac{ac}{ca} \] \[ = 1 + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + 1 \] Bước 4: Gộp các hạng tử lại: \[ M = 1 + 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \] \[ = 2 + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) + \left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right) + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) \] Bước 5: Nhận thấy rằng mỗi cặp phân số có tổng lớn hơn hoặc bằng 2 (theo bất đẳng thức AM-GM): \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2, \quad \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2, \quad \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \geq 2 \] Do đó: \[ M = 2 + 2 + 2 = 8 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là: \[ \boxed{8} \]