Cho ABC∆ vuông tại B. AD là tia phân giác của BAC ( )D BC∈ . Kẻ ( )DI AC I AC⊥ ∈
a) Chứng minh AB AI= .
b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AD, cắt AD tại K. Hai đường thẳng CK và
AB cắt nhau tại E. Chứng minh K là trung điểm của CE và AEC∆ cân.
c) Chứng minh ba điểm E, D, I thẳng hàng.

Question

Đức Giang · Accepted Answer

a) Xét $ riangle A B D$ và $ riangle A I D$ có:

$\widehat{A B} \bar{D}=\widehat{A I D}=90^{\circ}$
AD là cạnh chung

$\widehat{B A D}=\widehat{I A D}( ext { Vì } \mathrm{AD} ext { là phân giác của } \overrightarrow{B A C})$
Do đó $ riangle A B D= riangle A I D($ cạnh huyền - góc nhọn $)$

b) Xét $ riangle A E K$ và $ riangle A C K$ có:

$\widehat{A K E}=\overparen{A K C}=90^{\circ}$
AK là cạnh chung
$\widehat{E A} \bar{K}=\widehat{C A} \bar{K}$ (Vì AD là tia phân giác của $\overrightarrow{B A} \bar{C}, \in A D, E \in A B$ )
Do đó $ riangle A E K= riangle A C K$ ( cạnh góc vuông - góc nhọn kề cạnh ấy)
Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}E K=C K( ext { Hai cạnh tương ứng) } \ A E=A C ext { (Hai cạnh tương ứng) }\end{array} ight.$
Vì $\mathrm{AE}=\mathrm{AC}(\mathrm{cmt})$ nên $ riangle A E C$ cân tại A

c) Ta có: $B C \perp A B($ Vì tam giác $A B C$ vuông tại $B)$

$E \in A B(G T)$
Do đó $B C \perp A B$

$=>B C ext { là đường cao của } riangle A E C$

Xét $ riangle A E C$ có:
BC là đường cao $(\mathrm{cmt})$
AK là đường cao (vì $A K \perp C E$ )
BC cắt AK tại D
Do đó D là trực tâm của $ riangle A E C$
$=>E D$ thuộc đường cao của $ riangle A E C=>E D \perp A C$,
mà $D I \perp A C(G T)$
$=>B a$ điểm $E, D, I$ thẳng hàng

Timi · Answer

a) Ta có DI ⊥ AC nên ∆ADI là tam giác vuông tại I. 
Mà AD là tia phân giác của ∠BAC nên theo tính chất tia phân giác trong tam giác vuông ta có: AB = AI

b) Ta có ∠CAK = ∠BAE (hai góc đối đỉnh)
∠AKC = ∠AEB = 90°
Do đó ∆AKC và ∆AEB là hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau nên hai tam giác này đồng dạng.
Từ đó ta có: $\frac{AK}{AE} = \frac{KC}{EB}$
Mặt khác, ta có ∠CAD = ∠BAD (vì AD là tia phân giác của ∠BAC)

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.

Cho ABC∆ vuông tại B. AD là tia phân giác của BAC ( )D BC∈ . Kẻ ( )DI AC I AC⊥ ∈ a) Chứng minh AB AI= . b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AD, cắt AD tại K. Hai đường thẳng CK và AB cắt nhau tại E....