làm bài nâng cao toán 8- đại, từ bài 33 đến bài 38

Bài 32: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức đã học về đại số và các phép biến đổi cơ bản. Bước 1: Xác định các điều kiện đã cho - Ta có \(a + b + c = 0\) - Và \(ab + bc + ca = v\) Bước 2: Biến đổi các biểu thức liên quan - Từ \(a + b + c = 0\), ta có \(c = - (a + b)\). Bước 3: Thay \(c\) vào biểu thức \(ab + bc + ca\) - Ta thay \(c = - (a + b)\) vào \(ab + bc + ca\): \[ ab + b(- (a + b)) + a(- (a + b)) \] \[ = ab - ab - b^2 - a^2 - ab \] \[ = -a^2 - b^2 - ab \] Bước 4: So sánh với giá trị \(v\) - Ta có \(ab + bc + ca = v\), nên: \[ -a^2 - b^2 - ab = v \] Bước 5: Kết luận - Do đó, ta có \(v = -a^2 - b^2 - ab\). Như vậy, giá trị của \(v\) là \(-a^2 - b^2 - ab\). Bài 33: Từ giả thiết ta có $xy+yz+zx=1.$ Mặt khác $(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(z-1)(x-1)=0.$ Như vậy trong ba số $x-1,y-1,z-1$ phải có ít nhất một số bằng 0 hoặc có hai số bằng nhau. Do đó xảy ra hai trường hợp : TH1: Có một số bằng 1. Giả sử $x=1$. Khi đó $y+z=1$ và $yz=1$. Suy ra $y=z=\frac12.$ Vậy $A=(-1)(\frac12^{69}-1)(\frac12^{70}-1)=0.$ TH2: Có hai số bằng nhau. Giả sử $x=y$. Khi đó $x^2z+x^2=1$ và $x^2z=1$. Suy ra $x=y=z=1.$ Vậy $A=(1-1)(1-1)(1-1)=0.$ Bài 34: Ta có \( B=x^2+2y^2+3z^2-2xy+2xz-2x-2y-8z+2000 \) \( = (x^2-2xy+y^2)+(x^2+2xz+z^2)+(y^2-2y+1)+(z^2-8z+16)+1983 \) \( = (x-y)^2+(x+z)^2+(y-1)^2+(z-4)^2+1983 \geq 1983 \) Dấu “=” xảy ra khi \( x-y=0,x+z=0,y-1=0,z-4=0 \) Hay \( x=y=1,z=4 \) Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là 1983, đạt được khi \( x=y=1,z=4 \) Bài 35: Ta có: \[ B = xy(x-2)(y+6) + 12x^2 - 24x + 3y^2 + 18y + 2045 \] Phân tích biểu thức trên: \[ B = xy(x-2)(y+6) + 12x^2 - 24x + 3y^2 + 18y + 2045 \] \[ = xy(x-2)(y+6) + 12(x^2 - 2x) + 3(y^2 + 6y) + 2045 \] Ta sẽ nhóm lại để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất: \[ B = xy(x-2)(y+6) + 12(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3(y^2 + 6y + 9 - 9) + 2045 \] \[ = xy(x-2)(y+6) + 12((x-1)^2 - 1) + 3((y+3)^2 - 9) + 2045 \] \[ = xy(x-2)(y+6) + 12(x-1)^2 - 12 + 3(y+3)^2 - 27 + 2045 \] \[ = xy(x-2)(y+6) + 12(x-1)^2 + 3(y+3)^2 + 2006 \] Do \(12(x-1)^2 \geq 0\) và \(3(y+3)^2 \geq 0\), ta có: \[ B \geq xy(x-2)(y+6) + 2006 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(B\), ta cần xét trường hợp \(xy(x-2)(y+6)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta thấy rằng \(xy(x-2)(y+6)\) sẽ nhỏ nhất khi \(x = 2\) hoặc \(y = -6\). Khi \(x = 2\): \[ B = 2y(2-2)(y+6) + 12(2-1)^2 + 3(y+3)^2 + 2006 \] \[ = 0 + 12(1) + 3(y+3)^2 + 2006 \] \[ = 12 + 3(y+3)^2 + 2006 \] \[ = 3(y+3)^2 + 2018 \] Khi \(y = -6\): \[ B = x(-6)(x-2)(-6+6) + 12(x-1)^2 + 3((-6)+3)^2 + 2006 \] \[ = 0 + 12(x-1)^2 + 3(-3)^2 + 2006 \] \[ = 12(x-1)^2 + 27 + 2006 \] \[ = 12(x-1)^2 + 2033 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(B\) xảy ra khi \(x = 2\) và \(y = -6\): \[ B = 3(-6+3)^2 + 2018 \] \[ = 3(9) + 2018 \] \[ = 27 + 2018 \] \[ = 2045 \] Giá trị nhỏ nhất của \(B\) là 2045, đạt được khi \(x = 2\) và \(y = -6\). Bài 36: Ta có \( M = \frac{27 - 12x}{x^2 + 9}. \) Nhận thấy rằng \( x^2 + 9 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Do đó, ta có thể viết lại \( M \) dưới dạng: \[ M = \frac{27 - 12x}{x^2 + 9} = \frac{27 - 12x}{(x^2 + 9)}. \] Ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm GTNN hoặc GTLN của \( M \). Xét biểu thức \( 27 - 12x \): \[ 27 - 12x = 3(9 - 4x). \] Do đó, ta có: \[ M = \frac{3(9 - 4x)}{x^2 + 9}. \] Ta sẽ tìm GTNN hoặc GTLN của \( M \) bằng cách xét các trường hợp cụ thể. 1. Tìm GTNN của \( M \): Ta có: \[ M = \frac{3(9 - 4x)}{x^2 + 9}. \] Để tìm GTNN của \( M \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( 9 - 4x \). Xét \( 9 - 4x \): \[ 9 - 4x = 0 \implies x = \frac{9}{4}. \] Thay \( x = \frac{9}{4} \) vào \( M \): \[ M = \frac{3(9 - 4 \cdot \frac{9}{4})}{(\frac{9}{4})^2 + 9} = \frac{3(9 - 9)}{\frac{81}{16} + 9} = \frac{3 \cdot 0}{\frac{81}{16} + 9} = 0. \] Do đó, GTNN của \( M \) là 0, đạt được khi \( x = \frac{9}{4} \). 2. Tìm GTLN của \( M \): Ta có: \[ M = \frac{3(9 - 4x)}{x^2 + 9}. \] Để tìm GTLN của \( M \), ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( 9 - 4x \). Xét \( 9 - 4x \): \[ 9 - 4x = 0 \implies x = \frac{9}{4}. \] Thay \( x = \frac{9}{4} \) vào \( M \): \[ M = \frac{3(9 - 4 \cdot \frac{9}{4})}{(\frac{9}{4})^2 + 9} = \frac{3(9 - 9)}{\frac{81}{16} + 9} = \frac{3 \cdot 0}{\frac{81}{16} + 9} = 0. \] Do đó, GTLN của \( M \) là 0, đạt được khi \( x = \frac{9}{4} \). Kết luận: Giá trị lớn nhất của \( M \) là 0, đạt được khi \( x = \frac{9}{4} \). Giá trị nhỏ nhất của \( M \) là 0, đạt được khi \( x = \frac{9}{4} \). Bài 37: Ta có: \[ P = \frac{ax^2+1}{(x-y)(x-z)} + \frac{ay^2+1}{(y-x)(y-z)} + \frac{az^2+1}{(z-x)(z-y)}. \] Nhận thấy rằng biểu thức trên có dạng tổng của ba phân thức có mẫu số là các hoán vị của $(x-y)(x-z)$, $(y-x)(y-z)$, và $(z-x)(z-y)$. Ta sẽ nhóm lại và tính toán từng phần. Xét từng phân thức: \[ \frac{ax^2+1}{(x-y)(x-z)}, \] \[ \frac{ay^2+1}{(y-x)(y-z)}, \] \[ \frac{az^2+1}{(z-x)(z-y)}. \] Chú ý rằng: \[ (y-x) = -(x-y), \] \[ (z-x) = -(x-z), \] \[ (z-y) = -(y-z). \] Do đó, ta có thể viết lại các phân thức như sau: \[ \frac{ax^2+1}{(x-y)(x-z)}, \] \[ \frac{ay^2+1}{-(x-y)(y-z)}, \] \[ \frac{az^2+1}{-(x-z)(y-z)}. \] Bây giờ, ta cộng các phân thức này lại: \[ P = \frac{ax^2+1}{(x-y)(x-z)} + \frac{ay^2+1}{-(x-y)(y-z)} + \frac{az^2+1}{-(x-z)(y-z)}. \] Nhận thấy rằng các mẫu số đều có thể viết dưới dạng chung $(x-y)(y-z)(z-x)$. Ta quy đồng mẫu số: \[ P = \frac{(ax^2+1)(y-z) - (ay^2+1)(x-z) - (az^2+1)(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}. \] Khai triển tử số: \[ (ax^2+1)(y-z) = ax^2(y-z) + (y-z), \] \[ -(ay^2+1)(x-z) = -ay^2(x-z) - (x-z), \] \[ -(az^2+1)(x-y) = -az^2(x-y) - (x-y). \] Cộng các hạng tử lại: \[ ax^2(y-z) + (y-z) - ay^2(x-z) - (x-z) - az^2(x-y) - (x-y). \] Nhóm các hạng tử: \[ ax^2(y-z) - ay^2(x-z) - az^2(x-y) + (y-z) - (x-z) - (x-y). \] Chú ý rằng: \[ (y-z) - (x-z) - (x-y) = 0. \] Do đó, tử số còn lại là: \[ ax^2(y-z) - ay^2(x-z) - az^2(x-y). \] Nhận thấy rằng: \[ ax^2(y-z) - ay^2(x-z) - az^2(x-y) = 0. \] Vậy tử số bằng 0, do đó: \[ P = \frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)} = 0. \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = 0. \] Bài 38: Ta có: $\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}$ $=\frac{a+b}{a(a+b-c)+bc+ac}+\frac{b+c}{b(b+c-a)+ac+bc}+\frac{c+a}{c(c+a-b)+ab+ac}$ $=\frac{a+b}{(a+b)(a+c)}+\frac{b+c}{(b+c)(b+a)}+\frac{c+a}{(c+a)(c+b)}$ $=\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}$ Do đó, ta cần chứng minh: $\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}\leq\frac1a+\frac1b+\frac1c.$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $(a+c)(b+a)\geq (a+\sqrt{bc})^2$ $\Rightarrow \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}\leq \frac{2}{a+\sqrt{bc}}$ Tương tự, ta có: $\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}\leq \frac{2}{b+\sqrt{ca}}$ $\frac{1}{c+b}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{2}{c+\sqrt{ab}}$ Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được: $2(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b})\leq 2(\frac{1}{a+\sqrt{bc}}+\frac{1}{b+\sqrt{ca}}+\frac{1}{c+\sqrt{ab}})$ $\Rightarrow \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}\leq \frac{1}{a+\sqrt{bc}}+\frac{1}{b+\sqrt{ca}}+\frac{1}{c+\sqrt{ab}}$ Mặt khác, ta có: $a+\sqrt{bc}\geq a$ $b+\sqrt{ca}\geq b$ $c+\sqrt{ab}\geq c$ $\Rightarrow \frac{1}{a+\sqrt{bc}}+\frac{1}{b+\sqrt{ca}}+\frac{1}{c+\sqrt{ab}}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ Do đó, ta có: $\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ Vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức: $\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\leq\frac1a+\frac1b+\frac1c.$