cho hình vuông ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD , AN cắt DM tại I
a) chứng minh AN vuông góc với DM
b)chứng minh BI=Ba và góc CBI = 2 lần góc DCI
c) chứng minh góc CIN + góc OIA= 90 độ
IM là phân gics của góc OIC
Giúp mình với!

Question

cho hình vuông ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD , AN cắt DM tại I
a) chứng minh AN vuông góc với DM
b)chứng minh BI=Ba và góc CBI = 2 lần góc DCI
c) chứng minh góc CIN + góc OIA= 90 độ
     IM là phân gics của góc OIC
Giúp mình với!

Mèo Simmy · Accepted Answer

a) Chứng minh

$cap A cap N ⟂ cap D cap M$

𝐴𝑁⟂𝐷𝑀

Xét

$cap B cap N equals one-half cap C cap D equals one-half cap B cap C$

𝐵𝑁=12𝐶𝐷=12𝐵𝐶

.

$angle cap B equals 90 raised to the composed with power$

∠𝐵=90∘

.

$cap A cap B equals cap B cap C$

𝐴𝐵=𝐵𝐶

(cạnh hình vuông).

$cap B cap N equals one-half cap C cap D equals one-half cap B cap C$

𝐵𝑁=12𝐶𝐷=12𝐵𝐶

.

$angle cap B equals 90 raised to the composed with power$

∠𝐵=90∘

.

$cap A cap B equals cap B cap C$

𝐴𝐵=𝐵𝐶

.

$cap D cap M equals cap C cap N$

𝐷𝑀=𝐶𝑁

(không bằng nhau - cần sửa lại).

$cap A cap D equals cap B cap C$

𝐴𝐷=𝐵𝐶

(cạnh hình vuông).

$cap B cap N equals cap B cap M$

𝐵𝑁=𝐵𝑀

(vì

$cap N$

𝑁

là trung điểm

$cap C cap D implies cap B cap N equals one-half cap C cap D$

𝐶𝐷⇒𝐵𝑁=12𝐶𝐷

,

$cap M$

𝑀

là trung điểm

$cap B cap C implies cap B cap M equals one-half cap B cap C$

𝐵𝐶⇒𝐵𝑀=12𝐵𝐶

- Chú ý: đề bài có thể nhầm lẫn, nếu

$cap M$

𝑀

là trung điểm

$cap B cap C$

𝐵𝐶

và

$cap N$

𝑁

là trung điểm

$cap C cap D$

𝐶𝐷

, thì ta xét

$triangle cap A cap D cap M$

△𝐴𝐷𝑀

và

$triangle cap B cap C cap N$

△𝐵𝐶𝑁

).

$angle cap B equals 90 raised to the composed with power$

∠𝐵=90∘

(góc hình vuông).

$cap A cap B equals cap B cap C$

𝐴𝐵=𝐵𝐶

(cạnh hình vuông).

$triangle cap A cap B cap N$

△𝐴𝐵𝑁

và

$triangle cap B cap C cap M$

△𝐵𝐶𝑀

:

Timi · Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh AN vuông góc với DM

- Vì ABCD là hình vuông, nên các đường chéo AC và BD vuông góc và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.
- M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD, do đó BM = MC và CN = ND.
- Xét tam giác BCD, M và N là trung điểm của BC và CD, nên MN là đường trung bình của tam giác BCD. Do đó, MN song song với BD và MN = $\frac{1}{2}$ BD.
- Xét tam giác ACD, AN là đường trung tuyến từ A đến CD, và DM là đường trung tuyến từ D đến BC.
- Do MN song song với BD và BD vuông góc với AC, nên MN cũng vuông góc với AC.
- Vì AN và DM đều là các đường trung tuyến trong tam giác vuông ACD, và MN là đường trung bình song song với BD, nên AN vuông góc với DM.

b) Chứng minh BI = BA và góc CBI = 2 lần góc DCI

- Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Xét tam giác BMC, vì M là trung điểm và BM = MC, nên tam giác BMC cân tại M.
- Gọi I là giao điểm của AN và DM. Vì AN vuông góc với DM (từ phần a), nên tam giác AMI vuông tại I.
- Trong tam giác vuông AMI, AI là đường cao, do đó AI cũng là đường trung tuyến, suy ra BI = BA.
- Xét tam giác BCI và tam giác DCI, vì BI = BA và AI là đường trung tuyến, nên góc CBI = 2 lần góc DCI.

c) Chứng minh góc CIN + góc OIA = 90 độ

- Xét tam giác CIN và tam giác OIA, vì AN vuông góc với DM, nên góc OIA là góc vuông.
- Do đó, góc CIN + góc OIA = 90 độ.

d) Chứng minh IM là phân giác của góc OIC

- Xét tam giác OIC, vì M là trung điểm của BC và IM là đường trung tuyến, nên IM cũng là phân giác của góc OIC.

Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.

cho hình vuông ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD , AN cắt DM tại I a) chứng minh AN vuông góc với DM b)chứng minh BI=Ba và góc CBI = 2 lầ...