Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 1: a) \(6x^2-(2x-3)(3x+2)-1=0\) \(6x^2-(6x^2+4x-9x-6)-1=0\) \(6x^2-(6x^2-5x-6)-1=0\) \(6x^2-6x^2+5x+6-1=0\) \(5x+5=0\) \(5x=-5\) \(x=-1\) Vậy \(x=-1\) b) \(x(x-3)+12-4x=0\) \(x^2-3x+12-4x=0\) \(x^2-7x+12=0\) \(x^2-3x-4x+12=0\) \(x(x-3)-4(x-3)=0\) \((x-4)(x-3)=0\) \(x-4=0\) hoặc \(x-3=0\) \(x=4\) hoặc \(x=3\) Vậy \(x=4\) hoặc \(x=3\) c) \(x^2+7x-8=0\) \(x^2+x+8x-8=0\) \(x(x+1)+8(x-1)=0\) \((x+8)(x-1)=0\) \(x+8=0\) hoặc \(x-1=0\) \(x=-8\) hoặc \(x=1\) Vậy \(x=-8\) hoặc \(x=1\) Bài 2: a) Với \( x = 4 \), ta thay giá trị này vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{4}{x + 6} = \frac{4}{4 + 6} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \] Do đó, giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \) là \( \frac{2}{5} \). b) Ta rút gọn biểu thức \( B \): \[ B = \frac{x}{x - 6} - \frac{1}{x + 6} - \frac{17x - 30}{x^2 - 36} \] Ta biết rằng \( x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6) \). Do đó, ta viết lại biểu thức \( B \) dưới dạng chung: \[ B = \frac{x(x + 6)}{(x - 6)(x + 6)} - \frac{(x - 6)}{(x - 6)(x + 6)} - \frac{17x - 30}{(x - 6)(x + 6)} \] Gộp các phân số lại: \[ B = \frac{x(x + 6) - (x - 6) - (17x - 30)}{(x - 6)(x + 6)} \] Rút gọn tử số: \[ B = \frac{x^2 + 6x - x + 6 - 17x + 30}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{x^2 - 12x + 36}{(x - 6)(x + 6)} \] Ta thấy rằng \( x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2 \). Do đó: \[ B = \frac{(x - 6)^2}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{x - 6}{x + 6} \] c) Ta có: \[ M = A : B = \frac{\frac{4}{x + 6}}{\frac{x - 6}{x + 6}} = \frac{4}{x + 6} \cdot \frac{x + 6}{x - 6} = \frac{4}{x - 6} \] Biểu thức \( M \) nhận giá trị nguyên khi \( \frac{4}{x - 6} \) là số nguyên. Điều này xảy ra khi \( x - 6 \) là ước của 4. Các ước của 4 là \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \). Do đó, \( x - 6 \) có thể là \( 1, -1, 2, -2, 4, -4 \). Từ đây, ta tìm được các giá trị của \( x \): \[ x - 6 = 1 \Rightarrow x = 7 \\ x - 6 = -1 \Rightarrow x = 5 \\ x - 6 = 2 \Rightarrow x = 8 \\ x - 6 = -2 \Rightarrow x = 4 \\ x - 6 = 4 \Rightarrow x = 10 \\ x - 6 = -4 \Rightarrow x = 2 \] Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( M \) nhận giá trị nguyên là \( x = 2, 4, 5, 7, 8, 10 \). Bài 3: a) Thời gian hoàn thành công việc của nông trại theo dự định là $\frac{x}{15}$ (ngày) b) Số tấn lương thực mỗi ngày nông trại sản xuất được trên thực tế là $15+3=18$ (tấn) c) Thời gian hoàn thành công việc của nông trại trên thực tế là $\frac{x+6}{18}$ (ngày) d) Theo đề bài ta có phương trình $\frac{x}{15}-\frac{x+6}{18}=3$ Ta có $\frac{x}{15}-\frac{x+6}{18}=3$ Nhân cả hai vế với 90 ta được $6x-5(x+6)=270$ Hay $6x-5x-30=270$ Suy ra $x-30=270$ Vậy $x=300.$ Khối lượng lương thực mà nông trại sản xuất được theo thực tế là $300+6=306$ (tấn) Bài 4: Để xác định độ dài đoạn thẳng BC mà không cần bơi qua hồ, ta có thể sử dụng tính chất của trung điểm và định lý Pythagore. Giả sử điểm A nằm trên bờ hồ, và B, C nằm trên hai bờ đối diện của hồ. K là trung điểm của AB và I là trung điểm của AC. Ta có: 1. Đặt độ dài đoạn thẳng AB là 2x, do K là trung điểm của AB nên AK = KB = x. 2. Đặt độ dài đoạn thẳng AC là 2y, do I là trung điểm của AC nên AI = IC = y. Theo đề bài, đoạn thẳng KI dài 25m. Do đó, ta có tam giác AKI vuông tại K (vì K và I là trung điểm của AB và AC, nên AK và AI là hai cạnh của tam giác vuông AKI). Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AKI, ta có: \[ KI^2 = AK^2 + AI^2 \] Thay số vào, ta có: \[ 25^2 = x^2 + y^2 \] \[ 625 = x^2 + y^2 \] Để tìm độ dài BC, ta sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông BIC (vì B và C nằm trên hai bờ đối diện của hồ, và I là trung điểm của AC): \[ BC^2 = BI^2 + IC^2 \] Do I là trung điểm của AC, nên BI = AI = y và IC = y. Do đó: \[ BC^2 = y^2 + y^2 = 2y^2 \] Từ phương trình \(x^2 + y^2 = 625\), ta không thể tìm được giá trị cụ thể của x và y mà không có thêm thông tin. Tuy nhiên, nếu biết thêm thông tin về mối quan hệ giữa x và y, ta có thể tính được BC. Vì không có thêm thông tin, ta chỉ có thể kết luận rằng độ dài BC phụ thuộc vào giá trị của y, và có thể được tính nếu biết thêm thông tin về x hoặc y. Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a. Chứng minh rằng \( BM = EF \) 1. Xét tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( B \), với \( M \) là trung điểm của \( AC \). Do đó, \( AM = MC \). 2. Vì \( MF \bot AB \) và \( ME \bot BC \), nên \( MF \) và \( ME \) là các đường cao của các tam giác vuông \( \Delta AMB \) và \( \Delta BMC \). 3. Trong tam giác vuông \( \Delta AMB \), \( MF \) là đường cao, nên \( MF = \frac{AB \cdot MB}{AM} \). 4. Trong tam giác vuông \( \Delta BMC \), \( ME \) là đường cao, nên \( ME = \frac{BC \cdot MB}{MC} \). 5. Vì \( AM = MC \), nên \( MF = ME \). 6. Do đó, \( EF = MF = ME \). 7. Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên \( BM \) là trung tuyến của tam giác vuông \( \Delta ABC \), và theo tính chất của tam giác vuông, \( BM = \frac{1}{2}AC \). 8. Từ các bước trên, ta có \( BM = EF \). b. Cho \( BC = 16 \, \text{cm}, \, AB = 12 \, \text{cm} \). Tính độ dài đoạn thẳng \( EF \). 1. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, \text{cm} \] 2. Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, \text{cm} \). 3. Từ phần a, ta đã chứng minh \( BM = EF \). 4. Tính \( BM \) trong tam giác vuông \( \Delta ABC \): \[ BM = \frac{1}{2}AC = \frac{20}{2} = 10 \, \text{cm} \] 5. Vậy, độ dài đoạn thẳng \( EF = 10 \, \text{cm} \). c. Lấy điểm \( N \) sao cho \( F \) là trung điểm của \( MN \). Chứng minh tứ giác \( AMBN \) là hình thoi. 1. Vì \( F \) là trung điểm của \( MN \), nên \( MF = FN \). 2. Từ phần a, ta có \( BM = EF \). 3. Do \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AM = MC \). 4. Trong tứ giác \( AMBN \), ta có: - \( AM = MB \) (vì \( M \) là trung điểm của \( AC \)) - \( BM = MN \) (vì \( BM = EF = FN \)) 5. Do đó, tứ giác \( AMBN \) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên \( AMBN \) là hình thoi. d. Gọi \( I \) là giao điểm của tia \( CF \) và đoạn thẳng \( AN \). \( K \) là giao điểm của \( CF \) và \( BM \). Chứng minh \( IA = 2 \cdot IN \). 1. Trong hình thoi \( AMBN \), \( F \) là trung điểm của \( MN \). 2. Do \( F \) là trung điểm của \( MN \), nên \( AN \) cắt \( CF \) tại \( I \) sao cho \( IF = IN \). 3. Vì \( F \) là trung điểm của \( MN \), nên \( IF = IN \). 4. Trong tam giác \( \Delta AIN \), \( I \) là trung điểm của \( AN \) vì \( IF = IN \). 5. Do đó, \( IA = 2 \cdot IN \). Vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh tất cả các phần của bài toán.