Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Câu 4: I. Trắc nghiệm: Hình thoi có các tính chất sau: A. Hai đường chéo bằng nhau: Sai. Trong hình thoi, hai đường chéo không nhất thiết phải bằng nhau. B. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường: Đúng. Đây là một tính chất của hình thoi. C. Hai đường chéo vuông góc với nhau: Đúng. Đây là một tính chất của hình thoi. D. Hai đường chéo là các phân giác của các góc của hình thoi: Đúng. Đây là một tính chất của hình thoi. Vậy, tính chất không đúng là: A. Hai đường chéo bằng nhau. II. Tự luận: 1. Tính chất của hình thoi: - Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. - Hai đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Hai đường chéo vuông góc với nhau. - Hai đường chéo là các phân giác của các góc của hình thoi. 2. Phân tích từng tính chất: - Tính chất A: Hai đường chéo bằng nhau. Đây không phải là tính chất của hình thoi. Trong hình thoi, hai đường chéo không nhất thiết phải bằng nhau. Chỉ có hình vuông (một trường hợp đặc biệt của hình thoi) mới có hai đường chéo bằng nhau. - Tính chất B: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Đây là tính chất đúng của hình thoi. - Tính chất C: Hai đường chéo vuông góc với nhau. Đây là tính chất đúng của hình thoi. - Tính chất D: Hai đường chéo là các phân giác của các góc của hình thoi. Đây là tính chất đúng của hình thoi. 3. Kết luận: Tính chất không đúng của hình thoi là: A. Hai đường chéo bằng nhau. Bài 1: a) \(5x(x-1) = x-1\) Ta có: \[5x(x-1) = x-1\] Chuyển \(x-1\) sang vế trái: \[5x(x-1) - (x-1) = 0\] Phân tích thành nhân tử: \[(x-1)(5x-1) = 0\] Do đó: \[x-1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x-1 = 0\] Giải từng trường hợp: \[x-1 = 0 \implies x = 1\] \[5x-1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x = \frac{1}{5}\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{5}\] b) \((2x-1)^2 - 4(x+7)(x-7) = 0\) Ta có: \[(2x-1)^2 - 4(x^2 - 49) = 0\] Phân tích thành nhân tử: \[(2x-1)^2 - 4x^2 + 196 = 0\] Rút gọn: \[4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 + 196 = 0\] Chuyển các hạng tử về một vế: \[-4x + 197 = 0\] Giải phương trình: \[-4x = -197 \implies x = \frac{197}{4}\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{197}{4}\] c) \((x-1)^2 - (2x+1)^2 = 0\) Ta có: \[(x-1)^2 - (2x+1)^2 = 0\] Phân tích thành nhân tử: \[(x-1-2x-1)(x-1+2x+1) = 0\] Rút gọn: \[-x(-3x) = 0\] Do đó: \[-x = 0 \quad \text{hoặc} \quad -3x = 0\] Giải từng trường hợp: \[-x = 0 \implies x = 0\] \[-3x = 0 \implies x = 0\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = 0\] Bài 2: a) Với \( x = 4 \), ta thay giá trị này vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{3x}{x - 1} = \frac{3 \cdot 4}{4 - 1} = \frac{12}{3} = 4 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 4 \) là 4. b) Ta rút gọn biểu thức \( B \): \[ B = \frac{3}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{x^2 + 5}{x^2 - 1} \] Ta biết rằng \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \), do đó: \[ B = \frac{3(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{x^2 + 5}{(x - 1)(x + 1)} \] Gộp các phân số lại: \[ B = \frac{3(x - 1) - (x + 1) + (x^2 + 5)}{(x - 1)(x + 1)} \] Rút gọn tử số: \[ 3(x - 1) - (x + 1) + (x^2 + 5) = 3x - 3 - x - 1 + x^2 + 5 = x^2 + 2x + 1 \] Do đó: \[ B = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x + 1}{x - 1} \] c) Ta xét biểu thức \( P = A : B \): \[ P = \frac{3x}{x - 1} : \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{3x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{3x}{x + 1} \] Biểu thức \( P \) có giá trị là một số nguyên dương khi \( \frac{3x}{x + 1} \) là số nguyên dương. Điều này xảy ra khi \( x + 1 \) là ước của \( 3x \). Ta có: \[ \frac{3x}{x + 1} = 3 - \frac{3}{x + 1} \] Để \( \frac{3x}{x + 1} \) là số nguyên dương, \( \frac{3}{x + 1} \) phải là số nguyên âm hoặc bằng 0. Do đó, \( x + 1 \) phải là ước của 3. Các ước của 3 là: \( \pm 1, \pm 3 \). Ta xét các trường hợp: 1. \( x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0 \) 2. \( x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2 \) 3. \( x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2 \) 4. \( x + 1 = -3 \Rightarrow x = -4 \) Kiểm tra các giá trị này: - \( x = 0 \): \( P = \frac{3 \cdot 0}{0 + 1} = 0 \) (không thỏa mãn) - \( x = -2 \): \( P = \frac{3 \cdot (-2)}{-2 + 1} = \frac{-6}{-1} = 6 \) (thỏa mãn) - \( x = 2 \): \( P = \frac{3 \cdot 2}{2 + 1} = \frac{6}{3} = 2 \) (thỏa mãn) - \( x = -4 \): \( P = \frac{3 \cdot (-4)}{-4 + 1} = \frac{-12}{-3} = 4 \) (thỏa mãn) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( P \) có giá trị là một số nguyên dương là \( x = -2, 2, -4 \). Bài 3: Để giải bài toán này, ta cần tính thời gian ô tô đi từ A đến B và từ B trở về A. a) Thời gian ô tô đi từ A đến B - Gọi \( x \) (km) là chiều dài quãng đường từ A đến B. - Tốc độ trung bình khi đi từ A đến B là 45 km/giờ. Thời gian đi từ A đến B được tính bằng công thức: \[ \text{Thời gian đi từ A đến B} = \frac{x}{45} \text{ (giờ)} \] b) Thời gian ô tô đi từ B trở về A - Quãng đường từ B trở về A dài hơn quãng đường từ A đến B là 7 km, do đó chiều dài quãng đường từ B về A là \( x + 7 \) km. - Tốc độ trung bình khi đi từ B về A là 40 km/giờ. Thời gian đi từ B trở về A được tính bằng công thức: \[ \text{Thời gian đi từ B về A} = \frac{x + 7}{40} \text{ (giờ)} \] Vậy, thời gian ô tô đi từ A đến B là \( \frac{x}{45} \) giờ và thời gian ô tô đi từ B trở về A là \( \frac{x + 7}{40} \) giờ. Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần hình dung cấu trúc của cái thang gấp. Giả sử cái thang có dạng hình tam giác cân với hai cạnh bên là hai chân thang và đáy là thanh ngang mà người thợ đã làm thêm. Bài toán cho biết khoảng cách giữa hai chân thang là 80 cm, tức là đáy của tam giác cân này có độ dài 80 cm. Để tìm độ dài của thanh ngang, chúng ta cần biết thêm thông tin về chiều cao của tam giác cân này hoặc độ dài của hai cạnh bên. Tuy nhiên, bài toán không cung cấp thông tin này, nên chúng ta không thể xác định chính xác độ dài của thanh ngang chỉ dựa vào thông tin đã cho. Nếu có thêm thông tin về chiều cao của tam giác hoặc độ dài của hai cạnh bên, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính toán. Ví dụ, nếu biết chiều cao của tam giác là h cm, thì độ dài của thanh ngang có thể được tính bằng công thức: \[ \text{Độ dài thanh ngang} = \sqrt{\left(\frac{80}{2}\right)^2 + h^2} \] Tuy nhiên, với thông tin hiện tại, chúng ta không thể đưa ra kết luận chính xác về độ dài của thanh ngang. Nếu có thêm thông tin, vui lòng cung cấp để có thể giải quyết bài toán một cách chính xác hơn. Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một theo từng phần yêu cầu. a) Chứng minh tứ giác ADCH là hình chữ nhật. 1. Vì $\Delta ABC$ cân tại A, nên $AH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, do đó $H$ là trung điểm của $BC$. 2. Gọi $N$ là trung điểm của $AC$, theo giả thiết $ND = NH$, và $D$ nằm trên tia $HN$. 3. Xét tứ giác $ADCH$: - $AH \perp BC$ (vì $AH$ là đường cao), do đó $AH \perp DC$. - $ND = NH$ và $N$ là trung điểm của $AC$, nên $D$ đối xứng với $H$ qua $N$. Do đó, $AD = HC$. - $AD \parallel HC$ (vì $AD = HC$ và $AH \perp DC$). - $AH \parallel DC$ (vì $AH \perp BC$ và $DC \perp BC$). 4. Từ các điều trên, tứ giác $ADCH$ có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó $ADCH$ là hình chữ nhật. b) Tứ giác ADHB là hình gì? Tại sao? 1. Tứ giác $ADHB$ có $AD \parallel BH$ (vì $AD \parallel HC$ và $HC \parallel BH$). 2. $AH \perp DC$ và $DC \parallel BH$, nên $AH \perp BH$. 3. Do đó, tứ giác $ADHB$ có một cặp cạnh đối song song và một góc vuông, nên $ADHB$ là hình thang vuông. c) Chứng minh $ON \perp AH$ và $ON = EC$. 1. Gọi $O$ là giao điểm của $BD$ và $AH$. 2. Kẻ $NE \perp BC$ tại $E$. 3. Vì $N$ là trung điểm của $AC$ và $NE \perp BC$, nên $NE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $NE = \frac{1}{2}BC$. 4. Trong tam giác $ADH$, $ON$ là đường trung bình nối trung điểm $N$ của $AD$ và $O$ của $AH$, do đó $ON \parallel DH$ và $ON = \frac{1}{2}DH$. 5. Vì $DH = BC$ (do $D$ đối xứng với $H$ qua $N$), nên $ON = \frac{1}{2}BC = NE$. 6. Do $ON \parallel NE$ và $NE \perp BC$, nên $ON \perp AH$. d) $\Delta ABC$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác AOEC là hình thang cân. 1. Để tứ giác $AOEC$ là hình thang cân, cần có $AO \parallel EC$ và $AO = EC$. 2. Từ phần c), ta đã có $ON = EC$ và $ON \perp AH$. 3. Để $AO = EC$, cần $AO = ON$. 4. Điều này xảy ra khi $O$ là trung điểm của $AH$, tức là $AH = 2ON$. 5. Do đó, $\Delta ABC$ cần thêm điều kiện $AH = 2ON$ để tứ giác $AOEC$ là hình thang cân. Bài 6: Từ giả thiết ta có $x+y=-z$ và $xy=-z(x+y)=-z(-z)=z^{2}$. Do đó, x và y là nghiệm của phương trình $t^{2}+zt+z^{2}=0$. Phương trình này có $\Delta=z^{2}-4z^{2}=-3z^{2}< 0$ với mọi $z\neq 0$. Vậy phương trình trên vô nghiệm. Suy ra $z=0$. Thay $z=0$ vào $x+y+z=0$ ta được $x+y=0$. Vậy $A=(-1)^{2021}+0^{2022}+(0+1)^{2023}=-1+0+1=0$.