Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán. 1) Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật Để chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có bốn góc vuông. - Theo giả thiết, $EF \bot AC$ tại E, do đó $\angle AEF = 90^\circ$. - Cũng theo giả thiết, $ED \bot AB$ tại D, do đó $\angle ADE = 90^\circ$. - Vì AE là đường trung tuyến của tam giác vuông $\Delta ABC$ tại A, nên AE cũng là đường cao, do đó $\angle EAD = 90^\circ$. - Cuối cùng, vì $AH \bot BC$ (đường cao của tam giác vuông), nên $\angle AHD = 90^\circ$. Vì tứ giác ADEF có bốn góc vuông, nên ADEF là hình chữ nhật. 2) Chứng minh tứ giác BDFE là hình bình hành Để chứng minh tứ giác BDFE là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. - Ta đã biết $ED \bot AB$ và $EF \bot AC$, do đó $ED \parallel EF$. - Vì $AB \bot AC$ (do $\Delta ABC$ vuông tại A), nên $AB \parallel EF$. - Tương tự, $BD \parallel EF$ vì $BD$ là đường cao từ B đến AC. Vì hai cặp cạnh đối song song, nên tứ giác BDFE là hình bình hành. 3) Chứng minh tứ giác DFEH là hình thang cân Để chứng minh tứ giác DFEH là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau. - Ta đã biết $ED \parallel EF$ (vì $ED \bot AB$ và $EF \bot AC$). - Ta cũng biết $DH \parallel EF$ (vì $DH$ là đường cao từ D đến EF). Vì $ED \parallel EF$ và $DH \parallel EF$, nên DFEH là hình thang. - Để chứng minh DFEH là hình thang cân, ta cần chứng minh $DE = FH$. - Vì AE là trung tuyến của tam giác vuông $\Delta ABC$, nên $AE = \frac{1}{2}BC$. - Do đó, $DE = \frac{1}{2}AB$ và $FH = \frac{1}{2}AC$. - Vì $AB = AC$ (do $\Delta ABC$ vuông cân tại A), nên $DE = FH$. Vì DFEH có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau, nên DFEH là hình thang cân. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán. Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1. Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật: - Ta có tam giác ABD vuông tại A, nên \( \angle BAD = 90^\circ \). - M là trung điểm của BD và C là điểm trên tia AM sao cho M là trung điểm của AC. Do đó, AM = MC. - Vì M là trung điểm của BD, nên \( BM = MD \). - Do đó, \( AM = MC = BM = MD \). - Từ đó, ta có \( AC = BD \). - Xét tứ giác ABCD, ta có: - \( AB \parallel CD \) (vì \( \angle BAD = \angle BCD = 90^\circ \)). - \( AD \parallel BC \) (vì \( \angle ADC = \angle ABC = 90^\circ \)). - Do đó, tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên ABCD là hình chữ nhật. 2. Chứng minh \( IB = IE \): - Gọi I là trung điểm của CD, nên \( IC = ID \). - Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho \( DE = DA \). - Xét tam giác DAE, ta có \( DA = DE \) và \( \angle DAE = 180^\circ - \angle BAD = 90^\circ \). - Do đó, tam giác DAE là tam giác cân tại D. - Vì I là trung điểm của CD, nên \( IC = ID \). - Xét tam giác BIC và tam giác EID, ta có: - \( IC = ID \) (I là trung điểm của CD). - \( \angle BIC = \angle EID \) (cùng phụ với góc \( \angle BID \)). - \( BC = DE \) (vì ABCD là hình chữ nhật, nên \( BC = AD = DE \)). - Do đó, tam giác BIC bằng tam giác EID theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c). - Suy ra, \( IB = IE \). 3. Chứng minh tứ giác BDCK là hình thang cân: - Gọi AH là đường cao của tam giác ABD, nên \( \angle BAH = \angle DAH = 90^\circ \). - Trên tia AH lấy điểm K sao cho H là trung điểm của AK, do đó \( AH = HK \). - Xét tứ giác BDCK: - \( \angle BDC = \angle BKC = 90^\circ \) (vì ABCD là hình chữ nhật và \( \angle BDC = 90^\circ \)). - Do đó, BDCK có hai góc kề nhau bằng nhau, nên BDCK là hình thang cân. 4. Chứng minh rằng K, C, E thẳng hàng: - Ta đã biết \( DE = DA \) và \( \angle DAE = 90^\circ \), do đó E nằm trên đường tròn đường kính DA. - Tương tự, K nằm trên đường tròn đường kính AH vì \( AH = HK \) và \( \angle BAH = 90^\circ \). - Do đó, C, E, K cùng nằm trên đường tròn đường kính AD (vì \( \angle DAE = \angle DCE = 90^\circ \)). - Suy ra, K, C, E thẳng hàng. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.