Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... EF đông quy.,Bài 15. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm K và E sao cho $DK=BE$ và nhỏ hơn một,nửa BD.,a) Chứng minh $\Delta ADK=\Delta CBE;$,b) Chứng minh tứ giác AKCE là hình bình hành;,c) Đường thẳng AK cắt CD tại M, đường thẳng CE cắt AB tại N. AC cắt BD tại O. Chứng minh ba điểm M, O,,N thẳng hàng.,d) Hình bình hành ABCD cần có điều kiện gì để tứ giác AKCE là hình thoi?,e) xác định vị trí của điểm K để M là trung điểm của CD.

Question

Timi · Accepted Answer

Bài 15:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh $\Delta ADK = \Delta CBE$:

- Ta có $ABCD$ là hình bình hành, do đó $AB = CD$ và $AD = BC$.
- Theo giả thiết, $DK = BE$ và $DK, BE$ nhỏ hơn một nửa $BD$.
- Xét hai tam giác $\Delta ADK$ và $\Delta CBE$:
  - $AD = BC$ (cạnh đối của hình bình hành).
  - $DK = BE$ (giả thiết).
  - $\angle ADK = \angle CBE$ (góc đối đỉnh).
- Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có $\Delta ADK = \Delta CBE$.

b) Chứng minh tứ giác $AKCE$ là hình bình hành:

- Ta đã có $\Delta ADK = \Delta CBE$, do đó $AK = CE$ và $\angle DAK = \angle BCE$.
- Trong hình bình hành $ABCD$, ta có $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.
- Do đó, $AK \parallel CE$ và $AK = CE$.
- Tương tự, $AE \parallel CK$ và $AE = CK$.
- Vậy tứ giác $AKCE$ có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên $AKCE$ là hình bình hành.

c) Chứng minh ba điểm $M, O, N$ thẳng hàng:

- Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
- Theo tính chất của hình bình hành, $O$ là trung điểm của cả hai đường chéo $AC$ và $BD$.
- Xét hai tam giác $\Delta AMO$ và $\Delta CNO$:
  - $AO = CO$ (vì $O$ là trung điểm của $AC$).
  - $\angle AMO = \angle CNO$ (góc đối đỉnh).
  - $AM = CN$ (vì $AKCE$ là hình bình hành, nên $AK = CE$ và $AM$ là phần của $AK$, $CN$ là phần của $CE$).
- Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có $\Delta AMO = \Delta CNO$.
- Vậy $M, O, N$ thẳng hàng.

d) Điều kiện để tứ giác $AKCE$ là hình thoi:

- Tứ giác $AKCE$ là hình bình hành.
- Để $AKCE$ là hình thoi, cần có $AK = KC = CE = EA$.
- Do đó, cần có $ABCD$ là hình bình hành với $AB = AD$ và $DK = BE$ sao cho $DK = BE = \frac{1}{2}BD$.

e) Xác định vị trí của điểm $K$ để $M$ là trung điểm của $CD$:

- Để $M$ là trung điểm của $CD$, cần có $AM = MC$.
- Vì $AKCE$ là hình bình hành, nên $AK = CE$.
- Do đó, cần có $K$ nằm trên $BD$ sao cho $AK = \frac{1}{2}AC$.
- Vậy $K$ phải là trung điểm của đoạn $BD$.

Trên đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài toán.