Câu: Rút gọn biểu thức: a/ $\frac{\left(x-3\right)^3}{3x^2}$ : $\frac{x^2-6x^2+9}{6x}$ b/ $\left(\frac{x-3}{x}-\frac{x}{x-3}+\frac{9}{x^2-3x}\right)$ : $\frac{2x-2}{x}$ (với x $\ne$ 0 và x $\ne$ 3)

a) Rút gọn biểu thức: \[ \frac{(x-3)^3}{3x^2} : \frac{x^2 - 6x + 9}{6x} \] Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \(x^2 - 6x + 9\) là một hằng đẳng thức: \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \] Do đó, biểu thức trở thành: \[ \frac{(x-3)^3}{3x^2} : \frac{(x-3)^2}{6x} \] Phép chia phân thức được thực hiện bằng cách nhân với phân thức nghịch đảo: \[ = \frac{(x-3)^3}{3x^2} \times \frac{6x}{(x-3)^2} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ = \frac{(x-3)^3 \cdot 6x}{3x^2 \cdot (x-3)^2} \] \[ = \frac{(x-3) \cdot 6x}{3x^2} \] \[ = \frac{6x(x-3)}{3x^2} \] \[ = \frac{6(x-3)}{3x} \] \[ = \frac{2(x-3)}{x} \] Vậy, kết quả rút gọn của biểu thức là: \[ \frac{2(x-3)}{x} \] b) Rút gọn biểu thức: \[ \left(\frac{x-3}{x} - \frac{x}{x-3} + \frac{9}{x^2 - 3x}\right) : \frac{2x-2}{x} \] Đầu tiên, ta tìm mẫu chung của các phân thức trong ngoặc: Mẫu chung của \(x\), \(x-3\), và \(x^2 - 3x\) là \(x(x-3)\). Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{x-3}{x} = \frac{(x-3)(x-3)}{x(x-3)} = \frac{(x-3)^2}{x(x-3)} \] \[ \frac{x}{x-3} = \frac{x \cdot x}{x(x-3)} = \frac{x^2}{x(x-3)} \] \[ \frac{9}{x^2 - 3x} = \frac{9}{x(x-3)} \] Gộp lại: \[ \frac{(x-3)^2}{x(x-3)} - \frac{x^2}{x(x-3)} + \frac{9}{x(x-3)} \] \[ = \frac{(x-3)^2 - x^2 + 9}{x(x-3)} \] Ta biết rằng \((x-3)^2 = x^2 - 6x + 9\): \[ = \frac{x^2 - 6x + 9 - x^2 + 9}{x(x-3)} \] \[ = \frac{-6x + 18}{x(x-3)} \] \[ = \frac{-6(x - 3)}{x(x-3)} \] \[ = \frac{-6}{x} \] Bây giờ, ta chia kết quả này cho \(\frac{2x-2}{x}\): \[ \frac{-6}{x} : \frac{2x-2}{x} \] Phép chia phân thức: \[ = \frac{-6}{x} \times \frac{x}{2(x-1)} \] \[ = \frac{-6 \cdot x}{x \cdot 2(x-1)} \] \[ = \frac{-6}{2(x-1)} \] \[ = \frac{-3}{x-1} \] Vậy, kết quả rút gọn của biểu thức là: \[ \frac{-3}{x-1} \]