giải bài sau

Câu 16. Để tìm \(a\), \(b\), và \(c\) sao cho \(F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x^2 e^x\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \(F(x)\): \[ F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích hai hàm: \[ F'(x) = (ax^2 + bx + c)'e^x + (ax^2 + bx + c)(e^x)' \] \[ F'(x) = (2ax + b)e^x + (ax^2 + bx + c)e^x \] \[ F'(x) = (2ax + b + ax^2 + bx + c)e^x \] \[ F'(x) = (ax^2 + (2a + b)x + (b + c))e^x \] 2. So sánh với \(f(x)\): Ta biết rằng \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\), tức là: \[ F'(x) = f(x) \] \[ (ax^2 + (2a + b)x + (b + c))e^x = x^2 e^x \] Do đó, ta có: \[ ax^2 + (2a + b)x + (b + c) = x^2 \] 3. So sánh hệ số tương ứng: - Hệ số của \(x^2\): \[ a = 1 \] - Hệ số của \(x\): \[ 2a + b = 0 \] Thay \(a = 1\) vào: \[ 2(1) + b = 0 \] \[ 2 + b = 0 \] \[ b = -2 \] - Hệ số của hằng số: \[ b + c = 0 \] Thay \(b = -2\) vào: \[ -2 + c = 0 \] \[ c = 2 \] Vậy, ta đã tìm được \(a = 1\), \(b = -2\), và \(c = 2\). Đáp án đúng là: D. \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 2\).