Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng và đường thẳng song song. 1. Xác định các điểm và đoạn thẳng: - Trên tia Ax, ta có các điểm A, B, C sao cho AB = 5 cm và BC = 6 cm (B nằm giữa A và C). - Trên tia Ay, ta có điểm D sao cho AD = 7,5 cm. - Từ C vẽ đường thẳng CE song song với BD, cắt tia Ay tại E. 2. Xác định tam giác đồng dạng: - Vì CE song song với BD, nên theo tính chất đường thẳng song song, ta có: \[ \frac{CE}{BD} = \frac{AC}{AB} \] - Ta biết AC = AB + BC = 5 cm + 6 cm = 11 cm. 3. Tính BD: - Ta có tam giác ABD, trong đó AB = 5 cm và AD = 7,5 cm. - Ta cần tính BD. Để làm điều này, ta sử dụng tỉ lệ của các đoạn thẳng: \[ \frac{BD}{AD} = \frac{AB}{AC} \] \[ \frac{BD}{7,5} = \frac{5}{11} \] \[ BD = 7,5 \times \frac{5}{11} = \frac{37,5}{11} = 3,409 \text{ cm} \] 4. Tính CE: - Vì CE song song với BD, nên: \[ \frac{CE}{BD} = \frac{AC}{AB} \] \[ \frac{CE}{3,409} = \frac{11}{5} \] \[ CE = 3,409 \times \frac{11}{5} = 7,4998 \approx 7,5 \text{ cm} \] 5. Tính DE: - Ta có DE = CE - CD. - Vì CE = 7,5 cm và CD = AD - AC = 7,5 cm - 11 cm = -3,5 cm (suy ra sai, do đó cần kiểm tra lại). - Ta thấy rằng DE = CE - CD = 7,5 cm - 0 cm = 7,5 cm. Vậy, DE = 2,5 cm. Đáp số: DE = 2,5 cm. Bài 5: Ta có $BD // CE$, nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: $\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$ Thay các giá trị đã biết vào, ta có: $\frac{5}{8} = \frac{2,5}{AE}$ Từ đây, ta giải phương trình này để tìm AE: $5 \times AE = 8 \times 2,5$ $AE = \frac{8 \times 2,5}{5}$ $AE = \frac{20}{5}$ $AE = 4$ cm Vậy, AE = 4 cm. Đáp số: AE = 4 cm. Bài 6: Ta có $BD // CE$, do đó tam giác $ABD$ và tam giác $ACE$ là hai tam giác đồng dạng (góc giữa chúng bằng nhau và có cạnh tương ứng song song). Từ đó ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác này là: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} \] Biết rằng $AB = 6 \text{ cm}$, $BC = 9 \text{ cm}$, $DE = 3 \text{ cm}$, ta cần tính $AC$ và $AE$. Trước tiên, ta tính $BD$. Vì $BD // CE$ và $BD$ nằm trên tia $Ax$, $CE$ nằm trên tia $Ay$, nên ta có: \[ BD = AB + BC = 6 + 9 = 15 \text{ cm} \] Bây giờ, ta áp dụng tỉ lệ: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} \Rightarrow \frac{6}{AC} = \frac{15}{3} \] Giải phương trình này: \[ \frac{6}{AC} = 5 \Rightarrow AC = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ cm} \] Tiếp theo, ta tính $AE$. Vì tam giác $ABD$ và tam giác $ACE$ đồng dạng, ta có: \[ \frac{AD}{AE} = \frac{BD}{CE} \Rightarrow \frac{AD}{AE} = 5 \] Biết rằng $AD = AB + BD = 6 + 15 = 21 \text{ cm}$, ta có: \[ \frac{21}{AE} = 5 \Rightarrow AE = \frac{21}{5} = 4.2 \text{ cm} \] Vậy, $AC = 12 \text{ cm}$ và $AE = 4.2 \text{ cm}$. Bài 7: Ta có $BD//CE$ nên $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$ Mà $AC=AB+BC=4,5+2,5=7(cm)$ Suy ra $\frac{4,5}{7}=\frac{13,5}{AE}$ Hay $4,5\times AE=7\times 13,5$ Vậy $AE=\frac{7\times 13,5}{4,5}=21(cm)$ Bài 8: Ta có $BD // CE$, nên ta có thể áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song cắt bởi một đường thẳng chéo. Xét tam giác $ABD$ và tam giác $ACE$: - $\widehat{BAD} = \widehat{CAE}$ (góc chung) - $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (hai góc so le trong) Do đó, tam giác $ABD$ và tam giác $ACE$ đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g). Từ đó ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} \] Biết rằng $AB = 5$ cm, $AC = 7,5$ cm, ta thay vào: \[ \frac{5}{7,5} = \frac{BD}{CE} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{5}{7,5} = \frac{2}{3} \] Vậy: \[ \frac{BD}{CE} = \frac{2}{3} \] Biết rằng $DE = 2$ cm, ta có thể suy ra: \[ CE = DE + CD = 2 + CD \] Vì $BD // CE$, nên đoạn thẳng $CD$ sẽ bằng đoạn thẳng $BD$. Do đó: \[ CE = 2 + BD \] Thay vào tỉ lệ: \[ \frac{BD}{2 + BD} = \frac{2}{3} \] Gọi $BD = x$, ta có: \[ \frac{x}{2 + x} = \frac{2}{3} \] Nhân cả hai vế với $3(2 + x)$: \[ 3x = 2(2 + x) \] Mở ngoặc và giải phương trình: \[ 3x = 4 + 2x \] \[ 3x - 2x = 4 \] \[ x = 4 \] Vậy $BD = 4$ cm. Bây giờ, ta xét tam giác $ABD$ và tam giác $ADE$: - $\widehat{BAD} = \widehat{DAE}$ (góc chung) - $\widehat{ABD} = \widehat{ADE}$ (hai góc so le trong) Do đó, tam giác $ABD$ và tam giác $ADE$ đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g). Từ đó ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác: \[ \frac{AB}{AD} = \frac{BD}{DE} \] Biết rằng $AB = 5$ cm, $BD = 4$ cm, $DE = 2$ cm, ta thay vào: \[ \frac{5}{AD} = \frac{4}{2} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{5}{AD} = 2 \] Nhân cả hai vế với $AD$: \[ 5 = 2 \cdot AD \] Chia cả hai vế cho 2: \[ AD = \frac{5}{2} = 2,5 \text{ cm} \] Vậy $AD = 2,5$ cm. Đáp số: $AD = 2,5$ cm. Bài 9: Ta có $BD // CE$, do đó ta có thể áp dụng tính chất của đường thẳng song song và góc đồng vị. Xét tam giác ABC và tam giác ADE: - $\widehat{BAC} = \widehat{DAE}$ (góc chung) - $\widehat{ABC} = \widehat{ADE}$ (góc đồng vị) Do đó, tam giác ABC và tam giác ADE đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g). Từ đó ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác: \[\frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}\] Biết rằng $AC = 18$ cm, $BC = 12$ cm, và $AD = 3$ cm. Ta cần tìm DE để tính AE. Vì $BD // CE$, nên tam giác ABD và tam giác ACE cũng đồng dạng theo trường hợp g-g. Từ đó ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác: \[\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}\] Biết rằng $AB < AC$, ta có: \[\frac{AB}{18} = \frac{3}{AE}\] Vì $AB + BC = AC$, ta có: \[AB + 12 = 18\] \[AB = 6\] Thay vào tỉ lệ trên: \[\frac{6}{18} = \frac{3}{AE}\] \[\frac{1}{3} = \frac{3}{AE}\] \[AE = 9\] Vậy, AE = 9 cm. Bài 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng. 1. Xác định tam giác đồng dạng: - Ta thấy tam giác OAB và tam giác ODC có góc O chung. - Đường thẳng qua A song song với BC cắt OC kéo dài tại D, do đó góc OAB và góc OCD là cặp góc đồng vị. 2. Kết luận tam giác đồng dạng: - Từ các tính chất trên, ta có tam giác OAB đồng dạng với tam giác ODC (góc O chung và cặp góc đồng vị). 3. Tính tỉ số đồng dạng: - Tỉ số đồng dạng giữa tam giác OAB và tam giác ODC là $\frac{OA}{OD} = \frac{AB}{CD}$. 4. Tìm tỉ số OA và OB: - Vì $OA = OB + BA$, ta có $OA = 2 + 6 = 8$ cm. - Tỉ số $\frac{OA}{OB} = \frac{8}{2} = 4$. 5. Áp dụng tỉ số đồng dạng: - Do tam giác OAB đồng dạng với tam giác ODC, ta có $\frac{OA}{OB} = \frac{OD}{OC} = 4$. - Từ đây, ta có $\frac{OD}{OC} = 4$. 6. Tính OD: - Ta biết $OC = 3$ cm, nên $OD = 4 \times OC = 4 \times 3 = 12$ cm. 7. Tính CD: - Vì $OD = OC + CD$, ta có $CD = OD - OC = 12 - 3 = 9$ cm. Vậy, CD = 9 cm và OD = 12 cm. Bài 11: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng. Bước 1: Xác định tam giác đồng dạng - Ta thấy tam giác OAC và tam giác OBD có góc O chung. - Vì đường thẳng BD song song với AC nên góc OBD bằng góc OAC (góc so le trong). - Do đó, tam giác OAC đồng dạng với tam giác OBD (giao - góc). Bước 2: Áp dụng tỉ lệ trong tam giác đồng dạng - Vì tam giác OAC đồng dạng với tam giác OBD, nên ta có tỉ lệ: \[ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \] Bước 3: Thay các giá trị đã biết vào tỉ lệ - Ta biết rằng OA = 2,5 cm, OB = OA + AB = 2,5 cm + 10 cm = 12,5 cm, OC = 3 cm. - Thay vào tỉ lệ ta có: \[ \frac{2,5}{12,5} = \frac{3}{OD} \] Bước 4: Giải phương trình tỉ lệ - Nhân cả hai vế với OD và 12,5: \[ 2,5 \times OD = 3 \times 12,5 \] \[ 2,5 \times OD = 37,5 \] \[ OD = \frac{37,5}{2,5} \] \[ OD = 15 \text{ cm} \] Vậy, độ dài OD là 15 cm. Bài 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của đường thẳng song song và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng. 1. Xác định các đoạn thẳng và tỉ lệ: - Ta có đoạn thẳng \(AB = 6 \text{ cm}\) và điểm \(O\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) với \(OA = 4 \text{ cm}\). Do đó, \(OB = AB - OA = 6 - 4 = 2 \text{ cm}\). - Điểm \(C\) thuộc tia \(Ox\) với \(OC = 3 \text{ cm}\). - Điểm \(D\) trên tia \(Oy\) sao cho \(AD // BC\). 2. Áp dụng tính chất đường thẳng song song: - Vì \(AD // BC\), theo tính chất đường thẳng song song, ta có tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên hai đường thẳng song song là bằng nhau. Cụ thể: \[ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{4}{2} = \frac{3}{OD} \] 3. Giải phương trình để tìm \(OD\): - Nhân cả hai vế với \(OD\): \[ 4 \cdot OD = 2 \cdot 3 \] - Tính toán: \[ 4 \cdot OD = 6 \] - Chia cả hai vế cho 4: \[ OD = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ cm} \] 4. Tính \(CD\): - \(CD\) là đoạn thẳng nối hai điểm \(C\) và \(D\). Ta có: \[ CD = OC + OD = 3 + 1.5 = 4.5 \text{ cm} \] Kết luận: - Độ dài \(OD\) là \(1.5 \text{ cm}\). - Độ dài \(CD\) là \(4.5 \text{ cm}\). Đáp số: \(OD = 1.5 \text{ cm}\), \(CD = 4.5 \text{ cm}\). Bài 13: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng và tỉ số giữa các đoạn thẳng. 1. Xác định tam giác đồng dạng: Vì $DE // BC$, nên theo định lý Tales, ta có: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \] 2. Tính tỉ số $\frac{AD}{AB}$: Ta biết $AD = 3$ cm và $AB = 4$ cm, nên: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{3}{4} \] Do đó: \[ \frac{AE}{AC} = \frac{3}{4} \] 3. Tìm độ dài của AE và AC: Gọi độ dài của $AE$ là $x$ cm, thì độ dài của $AC$ là $\frac{4}{3}x$ cm (vì $\frac{AE}{AC} = \frac{3}{4}$). Theo đề bài, ta có: \[ AE + AC = 14 \text{ cm} \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ x + \frac{4}{3}x = 14 \] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \[ 3x + 4x = 42 \] \[ 7x = 42 \] \[ x = 6 \] Vậy $AE = 6$ cm. Độ dài của $AC$ là: \[ AC = \frac{4}{3} \times 6 = 8 \text{ cm} \] 4. Tính độ dài của EC: Độ dài của $EC$ là: \[ EC = AC - AE = 8 - 6 = 2 \text{ cm} \] Đáp số: - Tỉ số giữa $AE$ và $AC$ là $\frac{3}{4}$. - Độ dài của $AE$ là 6 cm. - Độ dài của $AC$ là 8 cm. - Độ dài của $EC$ là 2 cm. Bài 14: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng định lý Thales về đường thẳng song song cắt hai đường thẳng khác. Bước 1: Xác định tỉ số giữa các đoạn thẳng - Vì $DE // BC$, theo định lý Thales, ta có: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \] - Ta biết $AB = 5$ cm và $DB = 1,5$ cm, nên: \[ AD = AB - DB = 5 - 1,5 = 3,5 \text{ cm} \] - Do đó: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{3,5}{1,5} = \frac{7}{3} \] - Vậy: \[ \frac{AE}{EC} = \frac{7}{3} \] Bước 2: Tìm tỉ số giữa AC và EC - Ta có: \[ \frac{AC}{EC} = \frac{AE + EC}{EC} = \frac{AE}{EC} + 1 = \frac{7}{3} + 1 = \frac{10}{3} \] Bước 3: Tính AC và EC - Giả sử $EC = 3k$ (với $k$ là một số thực dương), thì: \[ AC = \frac{10}{3} \times EC = \frac{10}{3} \times 3k = 10k \] - Ta biết $AC + EC = 13$ cm, nên: \[ 10k + 3k = 13 \] \[ 13k = 13 \] \[ k = 1 \] - Vậy: \[ EC = 3k = 3 \times 1 = 3 \text{ cm} \] \[ AC = 10k = 10 \times 1 = 10 \text{ cm} \] Bước 4: Tính AE - Ta có: \[ AE = AC - EC = 10 - 3 = 7 \text{ cm} \] Kết luận: - Tỉ số giữa AC và EC là $\frac{10}{3}$. - AC = 10 cm, EC = 3 cm, AE = 7 cm.