hakshsjshan

Bài 9. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M sao cho $AM=AE$. Ta có $\widehat{CAM}=\widehat{BAC}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{CAM}+\widehat{BAE}=90^{\circ}+\widehat{BAE}$ $=\widehat{BAC}+\widehat{BAE}=180^{\circ}$ $\Rightarrow$ Điểm M nằm trên tia CA. Xét hai tam giác AME và ABD có: $AM=AE$ (theo giả thiết) $\widehat{MAE}=\widehat{BAD}$ (cùng bằng $90^{\circ}$) $AE=BD$ (theo giả thiết) $\Rightarrow \Delta AME=\Delta ABD$ (cạnh - góc - cạnh) $\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{ABD}$ Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (hai góc kề bù với góc BAC) $\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{ACE}$ $\Rightarrow EM//CE$ $\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{CAK}$ (hai góc so le trong) $\Rightarrow \widehat{CAK}=\widehat{ACE}$ $\Rightarrow AK=CK$ (tính chất tam giác cân) Xét hai tam giác AKE và CKE có: $AK=CK$ (chứng minh trên) $\widehat{AKE}=\widehat{CKE}=90^{\circ}$ (vì AK vuông góc với DE) $KE$ cạnh chung $\Rightarrow \Delta AKE=\Delta CKE$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông) $\Rightarrow AE=CE$ $\Rightarrow BD=CE$ (vì $AE=BD)$ Xét hai tam giác DBE và CED có: $BD=CE$ (chứng minh trên) $\widehat{DBE}=\widehat{CED}$ (cùng bằng $45^{\circ})$ $DE$ cạnh chung $\Rightarrow \Delta DBE=\Delta CED$ (cạnh - góc - cạnh) $\Rightarrow BE=CD$ Xét hai tam giác ABE và ACD có: $AB=AC$ (vì ABC là tam giác vuông cân) $\widehat{BAE}=\widehat{CAD}$ (cùng bằng $90^{\circ})$ $BE=CD$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \Delta ABE=\Delta ACD$ (cạnh - góc - cạnh) $\Rightarrow AE=AD$ Xét hai tam giác ADE và ACK có: $AE=AD$ (chứng minh trên) $\widehat{DAE}=\widehat{CAK}$ (cùng bằng $45^{\circ})$ $AK=CK$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \Delta ADE=\Delta ACK$ (cạnh - góc - cạnh) $\Rightarrow DE=AK$ (hai cạnh tương ứng) Bài 1. a) Ta có: - AB = AD (vì tam giác ABD đều) - AE = AC (vì tam giác ACE đều) - $\widehat{BAE} = \widehat{CAD}$ (vì $\widehat{BAE} = \widehat{BAC} + \widehat{CAE}$ và $\widehat{CAD} = \widehat{BAC} + \widehat{BAD}$) Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ ba (cạnh - góc - cạnh), ta có $\Delta ABE = \Delta ADC$. b) Ta có: - $\widehat{ABE} = \widehat{ADC}$ (vì $\Delta ABE = \Delta ADC$) - $\widehat{ABE} = 60^\circ$ (vì tam giác ABD đều) - $\widehat{ADC} = 60^\circ$ (vì tam giác ACE đều) Xét tam giác BMC, ta có: - $\widehat{BMC} = 180^\circ - (\widehat{MBC} + \widehat{MCB})$ - $\widehat{MBC} = \widehat{ABC} - \widehat{ABE} = \widehat{ABC} - 60^\circ$ - $\widehat{MCB} = \widehat{ACB} - \widehat{ACD} = \widehat{ACB} - 60^\circ$ Vậy: $\widehat{BMC} = 180^\circ - ((\widehat{ABC} - 60^\circ) + (\widehat{ACB} - 60^\circ))$ $= 180^\circ - (\widehat{ABC} + \widehat{ACB} - 120^\circ)$ $= 180^\circ - (180^\circ - \widehat{BAC} - 120^\circ)$ $= 180^\circ - 180^\circ + \widehat{BAC} + 120^\circ$ $= \widehat{BAC} + 120^\circ$ Nhưng ta biết rằng $\widehat{BAC} < 60^\circ$ (vì tam giác ABC nhọn), nên $\widehat{BMC} = 120^\circ$. Bài 2. Để chứng minh tam giác \(IDH\) là tam giác cân, ta sẽ chứng minh \(ID = IH\). 1. Xét tam giác \(AID\) và tam giác \(AHD\): - \(AI = AH\) (theo đề bài) - \(AD\) là đường phân giác trong góc \(A\) của tam giác \(ABC\), do đó \(\angle IAD = \angle HAD\). 2. Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác (cạnh - góc - cạnh): - Ta có \(AI = AH\) - \(\angle IAD = \angle HAD\) - \(AD\) chung Do đó, tam giác \(AID\) bằng tam giác \(AHD\) (cạnh - góc - cạnh). 3. Từ đó suy ra: - \(ID = HD\) (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Vậy tam giác \(IDH\) là tam giác cân tại đỉnh \(D\). Đáp số: Tam giác \(IDH\) là tam giác cân tại đỉnh \(D\). Bài 3. a) Ta có $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{DBC}$ Mà $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0$ (vì tam giác ABC vuông tại A) $\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=90^0$ (vì tam giác DBC vuông cân tại D) Suy ra $\widehat{ABC}+\widehat{DBC}+\widehat{ACB}+\widehat{DCB}=180^0$ Hay $\widehat{ABD}+\widehat{ACD}=180^0$ b) Xét tam giác ABD và tam giác IDC có: $\widehat{ADB}=\widehat{IDC}$ (hai góc đối đỉnh) $\widehat{ABD}=\widehat{DIC}$ (cùng bù với góc ACD) AB = CD (vì tam giác DBC vuông cân tại D) Suy ra tam giác ABD và tam giác IDC đồng dạng (g-g-c) Suy ra DA = DI (2 cạnh tương ứng trong 2 tam giác đồng dạng) c) Xét tam giác ABD và tam giác ACD có: AB = CD (vì tam giác DBC vuông cân tại D) AD chung DA = DI (chứng minh ở phần b) Suy ra tam giác ABD và tam giác ACD bằng nhau (c-c-c) Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (2 góc tương ứng trong 2 tam giác bằng nhau) Vậy AD là tia phân giác góc BAC. Bài 4. Xét tam giác ABE và tam giác ACK có: - AB = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A) - Góc BAE = góc CAK (góc vuông) - Góc ABE = góc ACK (góc vuông) Do đó, tam giác ABE và tam giác ACK bằng nhau (cạnh kề và hai góc kề bằng nhau). Từ đó ta có BE = CK. Xét tam giác ABD và tam giác ACD có: - AB = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A) - AD chung - Góc BAD = góc CAD (góc vuông) Do đó, tam giác ABD và tam giác ACD bằng nhau (cạnh kề và hai góc kề bằng nhau). Từ đó ta có BD = CD. Xét tam giác EBD và tam giác KCD có: - BE = CK (chứng minh trên) - BD = CD (chứng minh trên) - Góc EBD = góc KCD (góc vuông) Do đó, tam giác EBD và tam giác KCD bằng nhau (cạnh kề và hai góc kề bằng nhau). Từ đó ta có ED = KD và góc BED = góc CKD. Mà góc BED + góc CKD = 180° (hai góc kề bù), nên góc BED = góc CKD = 90°. Vậy tam giác EDK vuông cân tại D.