giải chi tiết các bước giúp em

Bài 9. Để tìm độ dài x và y trong các hình vẽ, chúng ta sẽ áp dụng các tính chất của tam giác vuông và các công thức liên quan đến đường cao và cạnh của tam giác. Hình 1: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại C. - AC = 6, BC = 8. - Áp dụng định lý Pythagoras: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] Hình 2: - Tam giác DEF là tam giác vuông tại E. - DE = 5, EF = 12. - Áp dụng định lý Pythagoras: \[ DF = \sqrt{DE^2 + EF^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Hình 3: - Tam giác GHI là tam giác vuông tại H. - GH = 9, HI = 12. - Áp dụng định lý Pythagoras: \[ GI = \sqrt{GH^2 + HI^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \] Hình 4: - Tam giác JKL là tam giác vuông tại K. - JK = 7, KL = 24. - Áp dụng định lý Pythagoras: \[ JL = \sqrt{JK^2 + KL^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \] Kết luận: - Độ dài x trong hình 1 là 10. - Độ dài y trong hình 2 là 13. - Độ dài x trong hình 3 là 15. - Độ dài y trong hình 4 là 25. Đáp số: - Hình 1: x = 10 - Hình 2: y = 13 - Hình 3: x = 15 - Hình 4: y = 25 Bài 10: Để tính \( AN \), ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng. - Ta có \( MN \parallel BC \), do đó tam giác \( AMN \) đồng dạng với tam giác \( ABC \) theo tỉ số đồng dạng \( \frac{AM}{AB} \). - Tính tỉ số \( \frac{AM}{AB} \): \[ \frac{AM}{AB} = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \] - Vì tam giác \( AMN \) đồng dạng với tam giác \( ABC \) với tỉ số đồng dạng \( \frac{2}{5} \), nên: \[ \frac{AN}{AC} = \frac{2}{5} \] - Biết \( AC = 20 \, cm \), ta tính \( AN \): \[ AN = \frac{2}{5} \times 20 = 8 \, cm \] Vậy \( AN = 8 \, cm \). Bài 11: Trước tiên, ta cần hiểu rằng vì đường thẳng \(d\) song song với \(BC\), nên tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) là hai tam giác đồng dạng. Điều này có nghĩa là tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác sẽ bằng nhau. Ta đã biết: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} \] Vì tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) đồng dạng, nên: \[ \frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị của \(AN\). Ta biết rằng: \[ AN + AC = 16 \text{ cm} \] Vì \(\frac{AN}{AC} = \frac{1}{3}\), ta có thể viết: \[ AN = \frac{1}{3} AC \] Thay \(AN = \frac{1}{3} AC\) vào phương trình \(AN + AC = 16 \text{ cm}\): \[ \frac{1}{3} AC + AC = 16 \text{ cm} \] Tổng hợp các phần: \[ \frac{1}{3} AC + \frac{3}{3} AC = 16 \text{ cm} \] \[ \frac{4}{3} AC = 16 \text{ cm} \] Nhân cả hai vế với \(\frac{3}{4}\) để tìm \(AC\): \[ AC = 16 \times \frac{3}{4} = 12 \text{ cm} \] Bây giờ, ta tính \(AN\): \[ AN = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \times 12 = 4 \text{ cm} \] Vậy, \(AN = 4 \text{ cm}\). Đáp số: \(AN = 4 \text{ cm}\). Bài 12: Trước tiên, ta nhận thấy rằng đường thẳng EF song song với hai đáy AB và CD của hình thang ABCD. Do đó, ta có thể áp dụng tính chất của tam giác đồng dạng để giải bài toán này. Xét tam giác AED và tam giác CFD, ta có: - $\angle DAE = \angle DCF$ (hai góc so le trong) - $\angle ADE = \angle CDF$ (hai góc so le trong) Vậy tam giác AED đồng dạng với tam giác CFD (giao - giao). Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác là bằng nhau: \[ \frac{AE}{ED} = \frac{CF}{FD} \] Biết rằng $AE = 4$ cm, $ED = 2$ cm, ta có: \[ \frac{4}{2} = \frac{CF}{FD} \] \[ 2 = \frac{CF}{FD} \] Điều này có nghĩa là $CF = 2 \times FD$. Bây giờ, xét tam giác BEF và tam giác BCD, ta cũng có: - $\angle EBF = \angle CBD$ (hai góc so le trong) - $\angle BEF = \angle BCD$ (hai góc so le trong) Vậy tam giác BEF đồng dạng với tam giác BCD (giao - giao). Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác là bằng nhau: \[ \frac{BF}{FC} = \frac{BE}{ED} \] Biết rằng $BF = 6$ cm, ta có: \[ \frac{6}{FC} = \frac{BE}{ED} \] Ta đã biết $ED = 2$ cm, do đó: \[ \frac{6}{FC} = \frac{BE}{2} \] Vì $BE = AE + ED = 4 + 2 = 6$ cm, ta có: \[ \frac{6}{FC} = \frac{6}{2} \] \[ \frac{6}{FC} = 3 \] Từ đây, ta giải ra $FC$: \[ FC = \frac{6}{3} = 2 \text{ cm} \] Vậy, độ dài đoạn thẳng FC là 2 cm. Đáp số: FC = 2 cm. Bài 13: Ta có: $\frac{DM}{DN}=\frac{S_{AMD}}{S_{AND}}=\frac{S_{CMD}}{S_{CND}}=\frac{S_{ACD}}{S_{ANC}}$ $\frac{DM}{DK}=\frac{S_{AMD}}{S_{AND}}=\frac{S_{BMD}}{S_{BND}}=\frac{S_{ABD}}{S_{ABN}}$ Từ đó ta có: $\frac{DM}{DN}+\frac{DM}{DK}=\frac{S_{ACD}}{S_{ANC}}+\frac{S_{ABD}}{S_{ABN}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ANC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{ABN}}=1$ Vậy $\frac{DM}{DN}+\frac{DM}{DK}=1$.