Giúp mình với!

Bài 42: Để giải quyết giới hạn \(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + 1}{x - 2}\), chúng ta sẽ thay \(x = 1\) vào biểu thức \(\frac{x + 1}{x - 2}\). Khi \(x = 1\): \[ \frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2 \] Do đó, \(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + 1}{x - 2} = -2\). Đáp án đúng là: D. \(-2\). Bài 44: Để giải quyết giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 3}}{x - 1}\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xét biểu thức trong căn bậc hai: \[ \sqrt{x^2 + 3} \] Khi \(x\) tiến đến \(-\infty\), \(x^2\) sẽ tiến đến \(+\infty\) vì bình phương của một số âm là một số dương lớn. 2. Xét biểu thức ở mẫu: \[ x - 1 \] Khi \(x\) tiến đến \(-\infty\), \(x - 1\) cũng tiến đến \(-\infty\). 3. Phân tích giới hạn: Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ \frac{\sqrt{x^2 + 3}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x^2})}}{x - 1} = \frac{|x|\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{x - 1} \] Vì \(x\) tiến đến \(-\infty\), nên \(|x| = -x\). Do đó: \[ \frac{-x \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{x - 1} \] 4. Chia cả tử và mẫu cho \(x\): \[ \frac{-x \sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{x - 1} = \frac{-\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{1 - \frac{1}{x}} \] 5. Tính giới hạn khi \(x \to -\infty\): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{1 + \frac{3}{x^2}}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{-\sqrt{1 + 0}}{1 - 0} = \frac{-1}{1} = -1 \] Vậy, \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 3}}{x - 1} = -1\). Đáp án đúng là: C. -1 Bài 46: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm giới hạn của biểu thức \(\frac{x^2 + 2x + 5}{5 - 2x^2}\) khi \(x\) tiến đến \(-\infty\). Bước 1: Xét tử số và mẫu số của biểu thức. - Tử số: \(x^2 + 2x + 5\) - Mẫu số: \(5 - 2x^2\) Bước 2: Khi \(x\) tiến đến \(-\infty\), các số hạng có bậc cao nhất sẽ chi phối giá trị của biểu thức. Vì vậy, chúng ta chỉ cần xét các số hạng có bậc cao nhất trong tử số và mẫu số. Bước 3: So sánh các số hạng có bậc cao nhất. - Số hạng có bậc cao nhất trong tử số là \(x^2\). - Số hạng có bậc cao nhất trong mẫu số là \(-2x^2\). Bước 4: Tính tỉ số của các số hạng có bậc cao nhất. \[ \frac{x^2}{-2x^2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \] Bước 5: Kết luận giới hạn của biểu thức. Khi \(x\) tiến đến \(-\infty\), biểu thức \(\frac{x^2 + 2x + 5}{5 - 2x^2}\) sẽ tiến đến \(-\frac{1}{2}\). Vậy đáp án đúng là: \[ C. -\frac{1}{2} \] Bài 48: Để giải quyết giới hạn \(\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{6x-1}{1-3x}\), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xét tử số và mẫu số khi \(x\) tiến đến \(-\infty\): - Tử số: \(6x - 1\) - Khi \(x\) tiến đến \(-\infty\), \(6x\) cũng tiến đến \(-\infty\). - Do đó, \(6x - 1\) tiến đến \(-\infty\). - Mẫu số: \(1 - 3x\) - Khi \(x\) tiến đến \(-\infty\), \(3x\) cũng tiến đến \(-\infty\). - Do đó, \(1 - 3x\) tiến đến \(+\infty\). 2. Tìm giới hạn của phân số: - Khi \(x\) tiến đến \(-\infty\), tử số \(6x - 1\) tiến đến \(-\infty\) và mẫu số \(1 - 3x\) tiến đến \(+\infty\). - Tỉ số của một số âm lớn và một số dương lớn sẽ tiến đến 0. 3. Kết luận: - Giới hạn của \(\frac{6x-1}{1-3x}\) khi \(x\) tiến đến \(-\infty\) là 0. Do đó, đáp án đúng là \(A.~-\frac12\). Bài 50: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra từng giới hạn một cách cẩn thận. A. $\lim_{x \rightarrow +\infty} (\sqrt{x^2 + 7} - x)$ Khi $x$ tiến đến vô cùng, $\sqrt{x^2 + 7}$ sẽ gần bằng $x$. Do đó, $\sqrt{x^2 + 7} - x$ sẽ tiến đến 0. B. $\lim_{x \rightarrow -1} \frac{2x - 2}{x - 1}$ Khi $x$ tiến đến -1, ta thay $x = -1$ vào biểu thức: $\frac{2(-1) - 2}{-1 - 1} = \frac{-2 - 2}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$ C. $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x + 2}$ Khi $x$ tiến đến 2, ta thay $x = 2$ vào biểu thức: $\frac{2^2 - 4}{2^2 + 3(2) + 2} = \frac{4 - 4}{4 + 6 + 2} = \frac{0}{12} = 0$ D. $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x + 4}{2x + 8}$ Khi $x$ tiến đến 1, ta thay $x = 1$ vào biểu thức: $\frac{1 + 4}{2(1) + 8} = \frac{5}{2 + 8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ Như vậy, chỉ có giới hạn C cho kết quả bằng 0. Đáp án: C. $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x + 2}$ Bài 52: Để hàm số \( f(x) \) có giới hạn khi \( x \to 1 \), ta cần kiểm tra giới hạn từ hai phía trái và phải của điểm \( x = 1 \). 1. Giới hạn từ bên phải (\( x > 1 \)): \[ f(x) = x^2 + ax + 1 \] Khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^2 + a \cdot 1 + 1 = 1 + a + 1 = 2 + a \] 2. Giới hạn từ bên trái (\( x \leq 1 \)): \[ f(x) = 2x^2 - x + 3a \] Khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \cdot 1^2 - 1 + 3a = 2 - 1 + 3a = 1 + 3a \] Để hàm số \( f(x) \) có giới hạn khi \( x \to 1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) \] Do đó: \[ 2 + a = 1 + 3a \] Giải phương trình này: \[ 2 + a = 1 + 3a \] \[ 2 - 1 = 3a - a \] \[ 1 = 2a \] \[ a = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị của \( a \) để tồn tại giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \to 1 \) là \( a = \frac{1}{2} \). Đáp án đúng là: D. \( \frac{1}{2} \)