giải toán trong ảnh

Câu 26. Để tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 0 = -2 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] Sau đó, ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Câu 27. Để tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-2) \times 4 + (-1) \times (-3) = -8 + 3 = -5 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] Sau đó, ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã tính vào công thức cosin: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{-5}{\sqrt{5} \times 5} = \frac{-5}{5\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$. Câu 28. Để tính góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} = (4; 3)$ và $\overrightarrow{b} = (1; 7)$, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \cdot 1 + 3 \cdot 7 = 4 + 21 = 25 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã tính vào công thức cosin: \[ \cos(\alpha) = \frac{25}{5 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{25}{25\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta biết rằng $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \alpha = 45^\circ \] Vậy đáp án đúng là: C. $\alpha = 45^\circ$. Câu 29. Để tính góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{x} = (1; 2)$ và $\overrightarrow{y} = (-3; -1)$, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{x}| |\overrightarrow{y}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y}$: \[ \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{y} = 1 \times (-3) + 2 \times (-1) = -3 - 2 = -5 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$: \[ |\overrightarrow{x}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{y}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã tính vào công thức cosin: \[ \cos(\alpha) = \frac{-5}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta biết rằng $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ là: \[ \alpha = 135^\circ \] Vậy đáp án đúng là: D. $\alpha = 135^\circ$. Câu 30. Để tính góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; 5)$ và $\overrightarrow{b} = (3; -7)$, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 3 + 5 \cdot (-7) = 6 - 35 = -29 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \] Bây giờ, ta tính cosin của góc $\alpha$: \[ \cos(\alpha) = \frac{-29}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{58}} = \frac{-29}{\sqrt{29 \cdot 58}} = \frac{-29}{\sqrt{1682}} = \frac{-29}{29\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Ta biết rằng $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, do đó góc $\alpha$ là $135^\circ$. Vậy đáp án đúng là: D. $\alpha = 135^\circ$. Câu 31. Để xác định vectơ nào không vuông góc với vectơ $\overrightarrow{a} = (9; 3)$, ta cần kiểm tra xem tích vô hướng của mỗi vectơ với $\overrightarrow{a}$ có bằng 0 hay không. Nếu tích vô hướng bằng 0 thì hai vectơ vuông góc với nhau. A. Kiểm tra $\overrightarrow{v_1} = (1; -3)$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v_1} = 9 \times 1 + 3 \times (-3) = 9 - 9 = 0 \] Vậy $\overrightarrow{v_1}$ vuông góc với $\overrightarrow{a}$. B. Kiểm tra $\overrightarrow{v_2} = (2; -6)$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v_2} = 9 \times 2 + 3 \times (-6) = 18 - 18 = 0 \] Vậy $\overrightarrow{v_2}$ vuông góc với $\overrightarrow{a}$. C. Kiểm tra $\overrightarrow{v_3} = (1; 3)$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v_3} = 9 \times 1 + 3 \times 3 = 9 + 9 = 18 \] Vậy $\overrightarrow{v_3}$ không vuông góc với $\overrightarrow{a}$. D. Kiểm tra $\overrightarrow{v_4} = (-1; 3)$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v_4} = 9 \times (-1) + 3 \times 3 = -9 + 9 = 0 \] Vậy $\overrightarrow{v_4}$ vuông góc với $\overrightarrow{a}$. Như vậy, vectơ không vuông góc với vectơ $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{v_3} = (1; 3)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{v_3} = (1; 3)$. Câu 32. Để tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = (-1 - 1; 1 - 2) = (-2; -1) \] - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{AC} = (5 - 1; -1 - 2) = (4; -3) \] 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2) \times 4 + (-1) \times (-3) = -8 + 3 = -5 \] 3. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Độ dài của $\overrightarrow{AB}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] - Độ dài của $\overrightarrow{AC}$: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] 4. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \times |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-5}{\sqrt{5} \times 5} = \frac{-5}{5\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$. Câu 33. Để tính số đo góc B của tam giác ABC, ta sẽ sử dụng định lý cosin. Trước tiên, ta cần tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC. 1. Tìm độ dài các cạnh: - Độ dài cạnh AB: \[ AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] - Độ dài cạnh BC: \[ BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] - Độ dài cạnh AC: \[ AC = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 2. Áp dụng định lý cosin để tìm cos(B): \[ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} \] \[ \cos B = \frac{(\sqrt{10})^2 + (2\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} \] \[ \cos B = \frac{10 + 20 - 50}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} \] \[ \cos B = \frac{-20}{4 \cdot \sqrt{50}} \] \[ \cos B = \frac{-20}{4 \cdot 5\sqrt{2}} \] \[ \cos B = \frac{-20}{20\sqrt{2}} \] \[ \cos B = \frac{-1}{\sqrt{2}} \] \[ \cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] 3. Xác định số đo góc B: \[ \cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Số đo góc B là \(135^\circ\) vì \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Vậy số đo góc B của tam giác ABC là \(135^\circ\). Đáp án đúng là: D. \(135^\circ\). Câu 34. Để hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau, tích vô hướng của chúng phải bằng 0. Ta có: \[ \overrightarrow{u} = \left( \frac{1}{2}, -5 \right) \] \[ \overrightarrow{v} = \left( k, -4 \right) \] Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{2} \right) \cdot k + (-5) \cdot (-4) \] Đặt tích vô hướng này bằng 0: \[ \frac{1}{2}k + 20 = 0 \] Giải phương trình này: \[ \frac{1}{2}k = -20 \] Nhân cả hai vế với 2: \[ k = -40 \] Vậy giá trị của \( k \) để vectơ $\overrightarrow{u}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{v}$ là \( k = -40 \). Đáp án đúng là: C. \( k = -40 \). Câu 35. Để tìm giá trị của \( k \) sao cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) có độ dài bằng nhau, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{u}\): \[ \overrightarrow{u} = \frac{1}{2} \overrightarrow{i} - 5 \overrightarrow{j} \] Độ dài của \(\overrightarrow{u}\) là: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + (-5)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 25} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{100}{4}} = \sqrt{\frac{101}{4}} = \frac{\sqrt{101}}{2} \] 2. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{v} = k \overrightarrow{i} - 4 \overrightarrow{j} \] Độ dài của \(\overrightarrow{v}\) là: \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{k^2 + (-4)^2} = \sqrt{k^2 + 16} \] 3. Đặt điều kiện để độ dài của hai vectơ bằng nhau: \[ |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ \frac{\sqrt{101}}{2} = \sqrt{k^2 + 16} \] 4. Giải phương trình: \[ \left( \frac{\sqrt{101}}{2} \right)^2 = k^2 + 16 \] \[ \frac{101}{4} = k^2 + 16 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ 101 = 4k^2 + 64 \] Chuyển 64 sang vế trái: \[ 101 - 64 = 4k^2 \] \[ 37 = 4k^2 \] Chia cả hai vế cho 4: \[ k^2 = \frac{37}{4} \] Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ k = \pm \sqrt{\frac{37}{4}} = \pm \frac{\sqrt{37}}{2} \] Vậy giá trị của \( k \) để vectơ \(\overrightarrow{u}\) và vectơ \(\overrightarrow{v}\) có độ dài bằng nhau là: \[ k = \pm \frac{\sqrt{37}}{2} \] Đáp án đúng là: C. \( k = \pm \frac{\sqrt{37}}{2} \).