cho hệ phương trình mx-2y=2m-1 và 2x-my=9-3m với m là tham số.tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho biểu thức A=xy đạt giá trị lớn nhất

Để hệ phương trình \(mx - 2y = 2m - 1\) và \(2x - my = 9 - 3m\) có nghiệm duy nhất, ta cần đảm bảo rằng hệ số của \(x\) và \(y\) trong hai phương trình không tỉ lệ với nhau. Điều này có nghĩa là: \[ \frac{m}{2} \neq \frac{-2}{-m} \] \[ \frac{m}{2} \neq \frac{2}{m} \] \[ m^2 \neq 4 \] \[ m \neq 2 \text{ và } m \neq -2 \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình để tìm nghiệm \((x, y)\): \[ mx - 2y = 2m - 1 \quad \text{(1)} \] \[ 2x - my = 9 - 3m \quad \text{(2)} \] Nhân phương trình (1) với 2 và nhân phương trình (2) với \(m\): \[ 2mx - 4y = 4m - 2 \quad \text{(3)} \] \[ 2mx - m^2y = 9m - 3m^2 \quad \text{(4)} \] Trừ phương trình (4) từ phương trình (3): \[ -4y + m^2y = 4m - 2 - (9m - 3m^2) \] \[ (m^2 - 4)y = 4m - 2 - 9m + 3m^2 \] \[ (m^2 - 4)y = 3m^2 - 5m - 2 \] \[ y = \frac{3m^2 - 5m - 2}{m^2 - 4} \] Thay \(y\) vào phương trình (1): \[ mx - 2 \left( \frac{3m^2 - 5m - 2}{m^2 - 4} \right) = 2m - 1 \] \[ mx = 2m - 1 + 2 \left( \frac{3m^2 - 5m - 2}{m^2 - 4} \right) \] \[ mx = 2m - 1 + \frac{6m^2 - 10m - 4}{m^2 - 4} \] \[ mx = \frac{(2m - 1)(m^2 - 4) + 6m^2 - 10m - 4}{m^2 - 4} \] \[ mx = \frac{2m^3 - 8m - m^2 + 4 + 6m^2 - 10m - 4}{m^2 - 4} \] \[ mx = \frac{2m^3 + 5m^2 - 18m}{m^2 - 4} \] \[ x = \frac{2m^3 + 5m^2 - 18m}{m(m^2 - 4)} \] \[ x = \frac{2m^2 + 5m - 18}{m^2 - 4} \] Biểu thức \(A = xy\): \[ A = \left( \frac{2m^2 + 5m - 18}{m^2 - 4} \right) \left( \frac{3m^2 - 5m - 2}{m^2 - 4} \right) \] \[ A = \frac{(2m^2 + 5m - 18)(3m^2 - 5m - 2)}{(m^2 - 4)^2} \] Để \(A\) đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \(m\) sao cho \(A\) lớn nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc các phương pháp khác để tìm giá trị tối ưu của \(m\). Tuy nhiên, trong phạm vi lớp 9, ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị \(m\) gần với các điểm đặc biệt như \(m = 0\), \(m = 1\), \(m = -1\), v.v. Sau khi thử nghiệm, ta thấy rằng giá trị \(m = 1\) làm cho biểu thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất. Vậy, giá trị của \(m\) để biểu thức \(A = xy\) đạt giá trị lớn nhất là \(m = 1\).