hhsnbdbdjdjs

Câu 12. Trước tiên, ta cần hiểu rằng G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Trọng tâm của một tứ diện là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 3:1, tính từ đỉnh đến tâm của mặt đáy. Ta sẽ chứng minh rằng $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$. 1. Ta biết rằng G là trọng tâm của tứ diện ABCD, do đó: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] 2. Để chứng minh điều này, ta xét các vectơ từ G đến các đỉnh của tứ diện: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] 3. Ta cũng biết rằng I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, do đó: \[ \overrightarrow{GI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}) \] \[ \overrightarrow{GJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) \] 4. Kết hợp hai vectơ trên, ta có: \[ \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) \] \[ \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) \] 5. Vì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$, nên: \[ \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GJ} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} \] 6. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{GI} = -\overrightarrow{GJ} \] 7. Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{GJ} = -\overrightarrow{GJ} + \overrightarrow{GJ} = \overrightarrow{0} \] Từ các bước trên, ta thấy rằng $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$. Do đó, đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$. Câu 13. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng biểu thức véctơ để xác định biểu thức nào đúng. A. $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow d$ - Ta có $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow a$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow b$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow c$ và $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow d$. - Biểu thức này nói rằng tổng của các véctơ từ đỉnh A đến các đỉnh khác bằng véctơ từ B đến C. Điều này không đúng vì $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c$ không phải là véctơ từ B đến C. B. $\overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c$ - Biểu thức này nói rằng véctơ từ A đến A' bằng tổng của véctơ từ A đến B và véctơ từ A đến C. Điều này không đúng vì $\overrightarrow a$ là véctơ thẳng đứng từ đáy lên đỉnh của lăng trụ, trong khi $\overrightarrow b + \overrightarrow c$ là véctơ nằm trong mặt đáy. C. $\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0$ - Biểu thức này nói rằng tổng của các véctơ từ đỉnh A đến các đỉnh khác và véctơ từ B đến C bằng véctơ không. Điều này không đúng vì tổng của các véctơ này không phải là véctơ không. D. $\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0$ - Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow b$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow c$ và $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow d$. - Biểu thức này nói rằng véctơ từ A đến B trừ véctơ từ A đến C cộng véctơ từ B đến C bằng véctơ không. Điều này đúng vì: \[ \overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} \] \[ = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow 0 \] Vậy biểu thức đúng là D. $\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0$. Câu 14. Để xác định điều kiện cần và đủ để các điểm \(A, B, C, D\) tạo thành hình bình hành, ta cần kiểm tra tính chất của các vectơ liên quan đến các đỉnh của hình bình hành. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \) Điều này không đúng vì tổng của các vectơ từ một điểm cố định đến các đỉnh của hình bình hành không phải luôn bằng vectơ null. B. \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \) Điều này đúng vì nó phản ánh tính chất của hình bình hành mà ta đã nêu ở trên. C. \( \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} \) Điều này không đúng vì nó không phản ánh đúng tính chất của hình bình hành. D. \( \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} \) Điều này cũng không đúng vì nó không phản ánh đúng tính chất của hình bình hành. Vậy, đáp án đúng là: B. \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \) Câu 15. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', các cạnh song song và bằng nhau. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ bằng vectơ của các cạnh song song với nó. - Vectơ $\overrightarrow{D^\prime C^\prime}$ là vectơ của cạnh D'A' song song với AB, nhưng ngược chiều. - Vectơ $\overrightarrow{BA}$ là vectơ ngược chiều với $\overrightarrow{AB}$. - Vectơ $\overrightarrow{CD}$ là vectơ của cạnh CD song song với AB, nhưng ngược chiều. - Vectơ $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$ là vectơ của cạnh B'A' song song và cùng chiều với AB. Do đó, vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{B^\prime A^\prime}$. Câu 16. Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm O, tâm của hình lập phương ABCD. $ABCD.A_1B_1C_1D_1$. Tâm O của hình lập phương nằm ở giao điểm của các đường chéo của hình lập phương, đồng thời cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa hai đỉnh đối diện của hình lập phương. Ta có: - Điểm O là tâm của hình lập phương, do đó O là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa hai đỉnh đối diện của hình lập phương. - Ta có thể viết vectơ $\overrightarrow{AO}$ dưới dạng tổng của các vectơ từ đỉnh A đến các đỉnh kề của nó, sau đó chia đều cho số lượng đỉnh kề đó. Ta có: \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}) \] Lý do là vì O là tâm của hình lập phương, do đó vectơ $\overrightarrow{AO}$ sẽ là trung bình cộng của các vectơ từ đỉnh A đến các đỉnh kề của nó. Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1})$ Đáp án: A. $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1})$ Câu 17. Để tìm giá trị của \( k \) trong đẳng thức \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = k \overrightarrow{DG}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trọng tâm G của tam giác ABC: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) được xác định bởi: \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] 2. Biểu diễn vectơ DG: Vectơ từ điểm \( D \) đến điểm \( G \) là: \[ \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{D} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \overrightarrow{D} \] 3. Tính tổng các vectơ DA, DB, DC: Ta có: \[ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}, \quad \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}, \quad \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} \] Do đó: \[ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}) + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}) \] \[ = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{D} \] 4. So sánh với \( k \overrightarrow{DG} \): Ta đã biết: \[ \overrightarrow{DG} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \overrightarrow{D} \] Nhân cả hai vế với 3: \[ 3 \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{D} \] 5. So sánh kết quả: Từ bước 3 và bước 4, ta thấy: \[ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = 3 \overrightarrow{DG} \] Do đó, giá trị của \( k \) là 3. Đáp án: B. \( k = 3 \). Câu 18. Để kiểm tra từng đẳng thức, ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ trong hình hộp. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AB_1}$ - Ta cũng có $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AD_1}$ - Vì $\overrightarrow{AB_1} \neq \overrightarrow{AD_1}$ nên đẳng thức này sai. B. $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$ - Ta có $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC_1}$ - Ta cũng có $\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$ - Vậy $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$ nên đẳng thức này đúng. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D_1A} = \overrightarrow{0}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{AC_1}$ - Ta cũng có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D_1A} = \overrightarrow{CA}$ - Vì $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}$ nên đẳng thức này đúng. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AD_1} + \overrightarrow{D_1O} + \overrightarrow{OC_1}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AC_1}$ - Ta cũng có $\overrightarrow{AD_1} + \overrightarrow{D_1O} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{AC_1}$ - Vì $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AC_1}$ nên đẳng thức này đúng. Vậy đẳng thức sai là: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD_1}$ Đáp án: A. Câu 19. Trước tiên, ta xét tính chất của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Ta biết rằng trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0} \] Bây giờ, ta sẽ biểu diễn các vectơ liên quan đến đỉnh S và các đỉnh đáy ABCD. Ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} \] Theo tính chất của hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0} \] Thay các biểu thức đã tìm được vào, ta có: \[ (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{0} \] Sắp xếp lại các vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0} \] Di chuyển các vectơ về cùng một vế, ta có: \[ \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}$. Câu 20. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan đến các điểm P và Q. - Điểm P là trung điểm của AB, do đó: \[ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] - Điểm Q là trung điểm của CD, do đó: \[ \overrightarrow{CQ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] Bây giờ, ta sẽ tìm vectơ \(\overrightarrow{PQ}\). Ta có: \[ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CQ} \] Trong đó: \[ \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{PA} = -\overrightarrow{AP} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] Do đó: \[ \overrightarrow{PC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] Và: \[ \overrightarrow{CQ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] Như vậy: \[ \overrightarrow{PQ} = \left( -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] Vì \(\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}\), ta có: \[ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{CD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] Sắp xếp lại các thành phần: \[ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] Ta nhận thấy rằng: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \] \[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2} (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) + \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2} (\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}) \] Sắp xếp lại các thành phần: \[ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{CB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \] Nhận thấy rằng \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CB}\): \[ \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{BD} \] Cuối cùng, ta nhận thấy rằng: \[ \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}) \] Vậy khẳng định đúng là: A. $\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})$.