cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD ,BE ,CF Chứng minh a) CH.CF=CE.CA=CD.CB b)EB là tia phân giác góc FED c) DB.DC=DH.DA d)EA.EC=EH.EB f) FA.FB=FH.FC h) HC.HF=HB.HE=HD.HA

a) Ta có $\widehat{DCH}=\widehat{ACF}$ (cùng bù với $\widehat{ACD}$) $\widehat{CHD}=\widehat{CFA}=90^{\circ}$ Do đó $\Delta DCH$ đồng dạng với $\Delta CFA$ (g-g) Suy ra $\frac{CH}{CF}=\frac{CD}{CA}$ Hay $CH.CA=CF.CD$ Tương tự ta có $CE.CA=CD.CB$ b) Ta có $\widehat{EFD}=\widehat{EBC}$ (hai góc cùng bù với $\widehat{ABE}$) $\widehat{DFE}=\widehat{CBE}$ (hai góc cùng bù với $\widehat{CBF}$) Mà $\widehat{EBC}=\widehat{CBE}$ (tính chất tam giác vuông cân) Do đó $\widehat{EFD}=\widehat{DFE}$ Vậy EB là tia phân giác của góc FED c) Ta có $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^{\circ}$ $\widehat{DBA}=\widehat{DCA}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$) Do đó $\Delta ABD$ đồng dạng với $\Delta CAD$ (g-g) Suy ra $\frac{DB}{DA}=\frac{DH}{DC}$ Hay $DB.DC=DH.DA$ d) Ta có $\widehat{AEC}=\widehat{AEB}=90^{\circ}$ $\widehat{EAC}=\widehat{EBA}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$) Do đó $\Delta EAC$ đồng dạng với $\Delta EBA$ (g-g) Suy ra $\frac{EA}{EB}=\frac{EC}{EA}$ Hay $EA.EC=EH.EB$ f) Ta có $\widehat{AFB}=\widehat{AFC}=90^{\circ}$ $\widehat{FAB}=\widehat{FCA}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$) Do đó $\Delta AFB$ đồng dạng với $\Delta AFC$ (g-g) Suy ra $\frac{FA}{FB}=\frac{FC}{FA}$ Hay $FA.FB=FH.FC$ h) Ta có $\widehat{BHC}=\widehat{BHA}=90^{\circ}$ $\widehat{HBC}=\widehat{HAB}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$) Do đó $\Delta BHC$ đồng dạng với $\Delta BHA$ (g-g) Suy ra $\frac{HC}{HA}=\frac{HB}{HC}$ Hay $HC.HF=HB.HE$ Tương tự ta có $HB.HE=HD.HA$