Toán 12 cụ thể

Câu 8: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trọng số trung tâm của mỗi nhóm: \[ \begin{aligned} &\text{Nhóm } [9;10): \quad x_1 = 9.5 \\ &\text{Nhóm } [10;11): \quad x_2 = 10.5 \\ &\text{Nhóm } [11;12): \quad x_3 = 11.5 \\ &\text{Nhóm } [12;13): \quad x_4 = 12.5 \\ &\text{Nhóm } [13;14): \quad x_5 = 13.5 \\ \end{aligned} \] - Tính tổng các giá trị nhân với tần số tương ứng: \[ \begin{aligned} &18 \times 9.5 = 171 \\ &10 \times 10.5 = 105 \\ &6 \times 11.5 = 69 \\ &4 \times 12.5 = 50 \\ &2 \times 13.5 = 27 \\ \end{aligned} \] - Tổng các giá trị này là: \[ 171 + 105 + 69 + 50 + 27 = 422 \] - Số lượng học sinh là 40, vậy trung bình cộng là: \[ \bar{x} = \frac{422}{40} = 10.55 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi giá trị trọng số trung tâm và trung bình cộng, rồi nhân với tần số tương ứng: \[ \begin{aligned} &18 \times (9.5 - 10.55)^2 = 18 \times (-1.05)^2 = 18 \times 1.1025 = 19.845 \\ &10 \times (10.5 - 10.55)^2 = 10 \times (-0.05)^2 = 10 \times 0.0025 = 0.025 \\ &6 \times (11.5 - 10.55)^2 = 6 \times (0.95)^2 = 6 \times 0.9025 = 5.415 \\ &4 \times (12.5 - 10.55)^2 = 4 \times (1.95)^2 = 4 \times 3.8025 = 15.21 \\ &2 \times (13.5 - 10.55)^2 = 2 \times (2.95)^2 = 2 \times 8.7025 = 17.405 \\ \end{aligned} \] - Tổng các giá trị này là: \[ 19.845 + 0.025 + 5.415 + 15.21 + 17.405 = 57.9 \] - Phương sai là: \[ s^2 = \frac{57.9}{40} = 1.4475 \] 3. Làm tròn phương sai đến hàng phần trăm: \[ s^2 \approx 1.45 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 1.45. Đáp án đúng là A. 1,45. Câu 9: Để tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = x^3 - 5x^2 + 3x + 1 \), ta cần tính đạo hàm của hàm số này và tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 5x^2 + 3x + 1) = 3x^2 - 10x + 3 \] Bước 2: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 10x + 3 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai \( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \): Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = -10 \), \( c = 3 \): \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Bước 4: Tính tổng \( x_1 + x_2 \): \[ x_1 + x_2 = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \] Vậy tổng \( x_1 + x_2 \) có giá trị bằng \( \frac{10}{3} \). Đáp án đúng là: D. \( \frac{10}{3} \).