giúp e với ạ

Bài 10: a) Ta có: \[ A = (x - 2)(x - 2) - (x - 1)(x + 1) \] \[ = (x - 2)^2 - (x^2 - 1) \] \[ = x^2 - 4x + 4 - x^2 + 1 \] \[ = -4x + 5 \] Thay \( x = 21 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = -4(21) + 5 \] \[ = -84 + 5 \] \[ = -79 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = 21 \) là \( -79 \). b) Ta có: \[ B = (x - 1)(x - 7) - (2x - 6)(x - 1) \] \[ = (x - 1)(x - 7) - 2(x - 3)(x - 1) \] \[ = (x - 1)[(x - 7) - 2(x - 3)] \] \[ = (x - 1)(x - 7 - 2x + 6) \] \[ = (x - 1)(-x - 1) \] \[ = -(x - 1)(x + 1) \] \[ = -(x^2 - 1) \] \[ = -x^2 + 1 \] Thay \( x = 0 \) vào biểu thức \( B \): \[ B = -(0)^2 + 1 \] \[ = 0 + 1 \] \[ = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) tại \( x = 0 \) là \( 1 \). c) Ta có: \[ C = (2x + y)(2 + y) + (2x + y)(y - 2) \] \[ = (2x + y)[(2 + y) + (y - 2)] \] \[ = (2x + y)(2 + y + y - 2) \] \[ = (2x + y)(2y) \] \[ = 2y(2x + y) \] \[ = 4xy + 2y^2 \] Thay \( x = 1 \) và \( y = -1 \) vào biểu thức \( C \): \[ C = 4(1)(-1) + 2(-1)^2 \] \[ = -4 + 2(1) \] \[ = -4 + 2 \] \[ = -2 \] Vậy giá trị của biểu thức \( C \) tại \( x = 1 \) và \( y = -1 \) là \( -2 \). d) Ta có: \[ D = (x - 1)(x + 2) - x(x - 2) - 3x \] \[ = (x^2 + 2x - x - 2) - (x^2 - 2x) - 3x \] \[ = x^2 + x - 2 - x^2 + 2x - 3x \] \[ = x^2 - x^2 + x + 2x - 3x - 2 \] \[ = 0 + 0 - 2 \] \[ = -2 \] Thay \( x = 100 \) vào biểu thức \( D \): \[ D = -2 \] Vậy giá trị của biểu thức \( D \) tại \( x = 100 \) là \( -2 \). Bài 12: 1) Ta có: \[ A = n(3n - 1) - 3n(n - 2) \] \[ = 3n^2 - n - 3n^2 + 6n \] \[ = 5n \] Vì \(5n\) là bội của 5 nên \(A \vdots 5\), \((\forall n \in \mathbb{R})\) 2) Ta có: \[ B = n(n + 5) - (n - 3)(n + 2) \] \[ = n^2 + 5n - (n^2 + 2n - 3n - 6) \] \[ = n^2 + 5n - n^2 - 2n + 3n + 6 \] \[ = 6n + 6 \] \[ = 6(n + 1) \] Vì \(6(n + 1)\) là bội của 6 nên \(B \vdots 6\), \((\forall n \in \mathbb{Z})\) 3) Ta có: \[ C = (n^2 + 3n - 1)(n + 2) - n^3 + 2 \] \[ = n^3 + 2n^2 + 3n^2 + 6n - n - 2 - n^3 + 2 \] \[ = n^3 + 2n^2 + 3n^2 + 6n - n - 2 - n^3 + 2 \] \[ = 5n^2 + 5n \] \[ = 5(n^2 + n) \] Vì \(5(n^2 + n)\) là bội của 5 nên \(C \vdots 5\), \((\forall n \in \mathbb{Z})\) 4) Ta có: \[ F = (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) \] \[ = 6n^2 + 30n + n + 5 - (6n^2 - 3n + 10n - 5) \] \[ = 6n^2 + 30n + n + 5 - 6n^2 + 3n - 10n + 5 \] \[ = 24n + 10 \] \[ = 2(12n + 5) \] Vì \(2(12n + 5)\) là bội của 2 nên \(F \vdots 2\), \((\forall n \in \mathbb{Z})\) 5) Ta có: \[ G = (5a - 3)(3b - 5) - (3a - 5)(5b - 3) \] \[ = 15ab - 25a - 9b + 15 - (15ab - 9a - 25b + 15) \] \[ = 15ab - 25a - 9b + 15 - 15ab + 9a + 25b - 15 \] \[ = -16a + 16b \] \[ = 16(b - a) \] Vì \(16(b - a)\) là bội của 16 nên \(G \vdots 16\), \((\forall a, b \in \mathbb{R})\) Bài 13: Để chứng minh rằng \(ab\) chia cho 3 dư 2, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng của \(a\) và \(b\): - Vì \(a\) chia cho 3 dư 1, nên ta có thể viết \(a\) dưới dạng \(a = 3k + 1\) với \(k\) là số tự nhiên. - Vì \(b\) chia cho 3 dư 2, nên ta có thể viết \(b\) dưới dạng \(b = 3m + 2\) với \(m\) là số tự nhiên. 2. Nhân \(a\) và \(b\): - Ta tính \(ab\) như sau: \[ ab = (3k + 1)(3m + 2) \] 3. Phát triển biểu thức \(ab\): - Áp dụng công thức nhân hai tổng, ta có: \[ ab = 3k \cdot 3m + 3k \cdot 2 + 1 \cdot 3m + 1 \cdot 2 \] \[ ab = 9km + 6k + 3m + 2 \] 4. Chia biểu thức \(ab\) cho 3: - Ta thấy rằng \(9km + 6k + 3m\) đều là các bội của 3, tức là chia hết cho 3. - Do đó, ta có: \[ ab = 3(3km + 2k + m) + 2 \] 5. Kết luận: - Từ biểu thức trên, ta thấy rằng \(ab\) có dạng \(3 \times \text{(số tự nhiên)} + 2\), tức là \(ab\) chia cho 3 dư 2. Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(ab\) chia cho 3 dư 2. Bài 14: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của phép chia và các số dư. Giả sử \(a\) chia 5 dư 1, tức là \(a = 5k + 1\) với \(k\) là số tự nhiên nào đó. Giả sử \(b\) chia 5 dư 2, tức là \(b = 5m + 2\) với \(m\) là số tự nhiên nào đó. Bây giờ, chúng ta sẽ tính \(ab\): \[ ab = (5k + 1)(5m + 2) \] Áp dụng công thức nhân hai tổng, ta có: \[ ab = 5k \cdot 5m + 5k \cdot 2 + 1 \cdot 5m + 1 \cdot 2 \] \[ ab = 25km + 10k + 5m + 2 \] Ta thấy rằng \(25km + 10k + 5m\) đều là các bội của 5, do đó chia hết cho 5. Vậy chỉ còn lại số 2. Do đó, \(ab\) chia 5 dư 2. Đáp số: 2 Bài 15: a) \(2x.(x^2 - 7x - 3)\) Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử của đa thức \(x^2 - 7x - 3\) với \(2x\): \[ 2x.(x^2 - 7x - 3) = 2x.x^2 - 2x.7x - 2x.3 \] \[ = 2x^3 - 14x^2 - 6x \] b) \((-2x^3 + \frac{3}{4}y^2 - 7xy).4xy^2\) Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử của đa thức \(-2x^3 + \frac{3}{4}y^2 - 7xy\) với \(4xy^2\): \[ (-2x^3 + \frac{3}{4}y^2 - 7xy).4xy^2 = -2x^3.4xy^2 + \frac{3}{4}y^2.4xy^2 - 7xy.4xy^2 \] \[ = -8x^4y^2 + 3xy^4 - 28x^2y^3 \] c) \((-5x^3).(2x^2 + 3x - 5)\) Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử của đa thức \(2x^2 + 3x - 5\) với \(-5x^3\): \[ (-5x^3).(2x^2 + 3x - 5) = -5x^3.2x^2 - 5x^3.3x - 5x^3.(-5) \] \[ = -10x^5 - 15x^4 + 25x^3 \] d) \((2x^2 - \frac{1}{3}xy + y^2).(-3x^3)\) Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử của đa thức \(2x^2 - \frac{1}{3}xy + y^2\) với \(-3x^3\): \[ (2x^2 - \frac{1}{3}xy + y^2).(-3x^3) = 2x^2.(-3x^3) - \frac{1}{3}xy.(-3x^3) + y^2.(-3x^3) \] \[ = -6x^5 + xy^4 - 3x^3y^2 \] Đáp số: a) \(2x^3 - 14x^2 - 6x\) b) \(-8x^4y^2 + 3xy^4 - 28x^2y^3\) c) \(-10x^5 - 15x^4 + 25x^3\) d) \(-6x^5 + xy^4 - 3x^3y^2\)