Giúp mình với Câu 6: Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa,vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x).$,,Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là 100m và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1).$ Mặt,đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y=36-9x.$ Người ta muốn làm một cây cầu,có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao,nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Question

Giúp mình với Câu 6: Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa,vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x).$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/8137d04ef2494d70ad8c321070f7501c.jpg />,Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là 100m và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1).$ Mặt,đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y=36-9x.$ Người ta muốn làm một cây cầu,có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao,nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Accepted Answer

Đặt phương trình đồ thị hàm số đại diện cho hòn đảo là:
$\displaystyle f( x) =ax^{3} +bx^{2} +cx+d$

Từ hình vẽ, $\displaystyle x=0\Longrightarrow f( 0) =1\Longrightarrow d=1$

$\displaystyle f'( x) =3ax^{2} +2bx+c$
$\displaystyle f''( x) =6ax+2b$

Tại cực đại, cực tiểu, đạo hàm của hàm số bằng 0, nên ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
f'( 0) =0\
\Leftrightarrow c=0\
\
f'( 2) =0\
\Leftrightarrow 3a.2^{2} +2b.2+c=0\
\Leftrightarrow 12a+4b+c=0\
\Leftrightarrow 12a+4b=0\ ( 1)
\end{array}$

Đồ thị hàm số đi qua điểm (2,5), nên ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
5=a.2^{3} +b.2^{2} +c.2+d\
\Leftrightarrow 8a+4b=4\ ( 2)
\end{array}$

$\displaystyle ( 1) ,\ ( 2) \ \Longrightarrow \ a=-1,\ b=3$

⟹ Phương trình hàm số: $\displaystyle f( x) =-x^{3} +3x^{2} +1$

Khoảng cách từ 1 điểm $\displaystyle ( x_{0} ,y_{0})$ đến đường thẳng $\displaystyle Ax+By+C=0$ là:

$\displaystyle d=\frac{|Ax_{0} +By_{0} +C|}{\sqrt{A^{2} +B^{2}}}$

Khoảng cách từ 1 điểm $\displaystyle ( x,f( x))$ đến đường thẳng $\displaystyle 9x+y-36=0$ là:
$\displaystyle d=\frac{|9x +1.f( x) -36|}{\sqrt{9^{2} +1^{2}}} =\frac{|9x-x^{3} +3x^{2} +1-36 |}{\sqrt{82}} =\frac{|-x^{3} +3x^{2} +9x-35|}{\sqrt{82}}$

Khoảng cách này nhỏ nhất khi và chỉ khi $\displaystyle |-x^{3} +3x^{2} +9x-35|$ nhỏ nhất
Đặt $\displaystyle g( x) =-x^{3} +3x^{2} +9x-35$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow g'( x) =-3x^{2} +6x+9=0\
\Leftrightarrow x=3\ hoặc\ x=-1
\end{array}$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BTT, $\displaystyle min_{|g( x) |} =8\Leftrightarrow x=3$

$\displaystyle \Longrightarrow min_{d} =\frac{8}{\sqrt{82}}$
Vì đơn vị của hệ trục là 100m, nên chiều dài bé nhất của cây cầu là:
$\displaystyle \frac{100.8}{\sqrt{82}} \simeq 88.3\ ( m)$