Giúp mình với

Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của hàm số bậc ba \( f(x) \) dựa vào các điểm cực đại và cực tiểu đã cho. 2. Tìm điểm trên đồ thị của \( f(x) \) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng \( y = 36 - 9x \) là ngắn nhất. 3. Tính khoảng cách ngắn nhất đó. Bước 1: Xác định phương trình của hàm số bậc ba \( f(x) \) Hàm số bậc ba có dạng: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Biết rằng: - Điểm cực đại là \( (2, 5) \) - Điểm cực tiểu là \( (0, 1) \) Từ điểm cực tiểu \( (0, 1) \), ta có: \[ f(0) = d = 1 \] Từ điểm cực đại \( (2, 5) \), ta có: \[ f(2) = 8a + 4b + 2c + 1 = 5 \] \[ 8a + 4b + 2c = 4 \quad \text{(1)} \] Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Tại điểm cực đại \( x = 2 \), ta có: \[ f'(2) = 12a + 4b + c = 0 \quad \text{(2)} \] Tại điểm cực tiểu \( x = 0 \), ta có: \[ f'(0) = c = 0 \] Thay \( c = 0 \) vào phương trình (1) và (2): \[ 8a + 4b = 4 \quad \text{(3)} \] \[ 12a + 4b = 0 \quad \text{(4)} \] Giải hệ phương trình (3) và (4): \[ 8a + 4b = 4 \] \[ 12a + 4b = 0 \] Trừ phương trình (3) từ phương trình (4): \[ (12a + 4b) - (8a + 4b) = 0 - 4 \] \[ 4a = -4 \] \[ a = -1 \] Thay \( a = -1 \) vào phương trình (3): \[ 8(-1) + 4b = 4 \] \[ -8 + 4b = 4 \] \[ 4b = 12 \] \[ b = 3 \] Vậy phương trình của hàm số bậc ba là: \[ f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1 \] Bước 2: Tìm điểm trên đồ thị của \( f(x) \) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng \( y = 36 - 9x \) là ngắn nhất Khoảng cách từ một điểm \( (x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \) là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Đường thẳng \( y = 36 - 9x \) có dạng \( 9x + y - 36 = 0 \). Khoảng cách từ điểm \( (x, f(x)) \) đến đường thẳng \( 9x + y - 36 = 0 \) là: \[ d = \frac{|9x + f(x) - 36|}{\sqrt{9^2 + 1^2}} = \frac{|9x - x^3 + 3x^2 + 1 - 36|}{\sqrt{82}} = \frac{|-x^3 + 3x^2 + 9x - 35|}{\sqrt{82}} \] Để khoảng cách này ngắn nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( |-x^3 + 3x^2 + 9x - 35| \) nhỏ nhất. Bước 3: Tính khoảng cách ngắn nhất Ta có: \[ g(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 35 \] Đạo hàm của \( g(x) \): \[ g'(x) = -3x^2 + 6x + 9 \] Tìm điểm cực trị của \( g(x) \): \[ g'(x) = 0 \] \[ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Kiểm tra giá trị của \( g(x) \) tại các điểm này: \[ g(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 35 = -27 + 27 + 27 - 35 = -8 \] \[ g(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) - 35 = 1 + 3 - 9 - 35 = -40 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( |g(x)| \) là 8, đạt được khi \( x = 3 \). Khoảng cách ngắn nhất là: \[ d = \frac{|-8|}{\sqrt{82}} = \frac{8}{\sqrt{82}} \approx 0.87 \] Do đó, độ dài ngắn nhất của cây cầu là: \[ 0.87 \times 100 = 87 \text{ mét} \] Đáp số: 87 mét.