SOS, giúp em giải bài này với

1. Chứng minh $AC \perp BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì? - Ta có $I, J, H, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$. - Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có: - $IJ \parallel AC$ và $IJ = \frac{1}{2}AC$ - $KH \parallel AC$ và $KH = \frac{1}{2}AC$ - $JK \parallel BD$ và $JK = \frac{1}{2}BD$ - $HI \parallel BD$ và $HI = \frac{1}{2}BD$ - Vì $AC \perp BD$, nên $IJ \perp JK$ và $KH \perp HI$. - Do đó, tứ giác IJHK là hình vuông. 2. Chứng minh $AC = BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì? - Ta đã biết $IJ = \frac{1}{2}AC$, $KH = \frac{1}{2}AC$, $JK = \frac{1}{2}BD$, $HI = \frac{1}{2}BD$. - Vì $AC = BD$, nên $IJ = KH = JK = HI$. - Do đó, tứ giác IJHK là hình thoi. 3. Chứng minh $AC \perp BD$ và $AC = BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì? - Từ phần trên, ta đã chứng minh được: - Nếu $AC \perp BD$, thì $IJ \perp JK$ và $KH \perp HI$. - Nếu $AC = BD$, thì $IJ = KH = JK = HI$. - Kết hợp hai điều kiện trên, ta thấy tứ giác IJHK vừa là hình vuông (do các góc vuông) và hình thoi (do các cạnh bằng nhau). - Do đó, tứ giác IJHK là hình vuông. 4. Cho $AB = 4~cm, CD = 8~cm, BC = 5\sqrt{2}~cm$. Tính chu vi của tứ giác IJHK. - Ta có $I, J, H, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$. - Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có: - $IJ = \frac{1}{2}AC$ - $KH = \frac{1}{2}AC$ - $JK = \frac{1}{2}BD$ - $HI = \frac{1}{2}BD$ - Ta cần tính $AC$ và $BD$: - Trong tam giác vuông $ABC$, ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 50} = \sqrt{66} \] - Trong tam giác vuông $BCD$, ta có: \[ BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 8^2} = \sqrt{50 + 64} = \sqrt{114} \] - Vậy: - $IJ = \frac{1}{2}\sqrt{66}$ - $KH = \frac{1}{2}\sqrt{66}$ - $JK = \frac{1}{2}\sqrt{114}$ - $HI = \frac{1}{2}\sqrt{114}$ - Chu vi của tứ giác IJHK là: \[ P_{IJHK} = IJ + JK + KH + HI = \frac{1}{2}\sqrt{66} + \frac{1}{2}\sqrt{114} + \frac{1}{2}\sqrt{66} + \frac{1}{2}\sqrt{114} = \sqrt{66} + \sqrt{114} \] Đáp số: 1. Tứ giác IJHK là hình vuông. 2. Tứ giác IJHK là hình thoi. 3. Tứ giác IJHK là hình vuông. 4. Chu vi của tứ giác IJHK là $\sqrt{66} + \sqrt{114}$.