SOS, giúp em giải bài này với
Đề bài:,Cho hình thang vuông ABCD $(\widehat A=90^0),I,J,H,$ K lần lượt là trung điểm của,AB, BC, CD, DD..,1. Chứng minh $AC\bot BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì?,2. Chứng minh $AC=BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì?,3. Chứng minh $AC\bot BD$ và $AC=BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì?,4. Cho $AB=4~cm,~CD=8~cm,~BC=5\sqrt2~cm.$ tính chu vi của tứ giác IJHK.

Question

SOS, giúp em giải bài này với
 Đề bài:,Cho hình thang vuông ABCD $(\widehat A=90^0),I,J,H,$ K lần lượt là trung điểm của,AB, BC, CD,  DD..,1. Chứng minh $AC\bot BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì?,2. Chứng minh $AC=BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì?,3. Chứng minh $AC\bot BD$ và $AC=BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì?,4. Cho $AB=4~cm,~CD=8~cm,~BC=5\sqrt2~cm.$ tính chu vi của tứ giác IJHK.

bunnytho2 · Accepted Answer

a, Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ có: I,J lần lượt là trung điểm của AB, CB
$\displaystyle \Longrightarrow $IJ là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle ABC$
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
IJ=\frac{AC}{2} & \
IJ\parallel AC &
\end{cases}( 1)$
Xét $\displaystyle \vartriangle ACD$ có: H,K lần lượt là trung điểm của CD, AC
$\displaystyle \Longrightarrow HK$ là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle ACD$
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
HK=\frac{AC}{2} & \
HK\parallel AC &
\end{cases}( 2)$
Từ (1) và (2) có: $\displaystyle IJ=HK,\ IJ\parallel HK$
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác IJHK là hình bình hành

Xét $\displaystyle \vartriangle ABD$ có: I,K lần lượt là trung điểm của AB, AD
$\displaystyle \Longrightarrow IK$ là đường trung bình của $\displaystyle \vartriangle ABD$
$\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
IK\parallel BD & \
IK=\frac{BD}{2} &
\end{cases}$
Ta có: $\displaystyle AC\bot BD,\ IK\parallel BD,\ IJ\parallel AC$
$\displaystyle \Longrightarrow IJ\bot IK$
Hình bình hành IJHK có: $\displaystyle \widehat{JIK} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác IJHK là hình chữ nhật
b, Ta có: $\displaystyle AC=BD,\ IJ=\frac{AC}{2} ;IK=\frac{BD}{2}$
$\displaystyle \Longrightarrow IJ=IK$
Hình bình hành IJHK có: IJ=IK
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác IJHK là hình thoi

Timi · Answer

1. Chứng minh $AC \perp BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì?

- Ta có $I, J, H, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$. 
- Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có:
  - $IJ \parallel AC$ và $IJ = \frac{1}{2}AC$
  - $KH \parallel AC$ và $KH = \frac{1}{2}AC$
  - $JK \parallel BD$ và $JK = \frac{1}{2}BD$
  - $HI \parallel BD$ và $HI = \frac{1}{2}BD$
  
- Vì $AC \perp BD$, nên $IJ \perp JK$ và $KH \perp HI$.
- Do đó, tứ giác IJHK là hình vuông.

2. Chứng minh $AC = BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì?

- Ta đã biết $IJ = \frac{1}{2}AC$, $KH = \frac{1}{2}AC$, $JK = \frac{1}{2}BD$, $HI = \frac{1}{2}BD$.
- Vì $AC = BD$, nên $IJ = KH = JK = HI$.
- Do đó, tứ giác IJHK là hình thoi.

3. Chứng minh $AC \perp BD$ và $AC = BD$ thì tứ giác IJHK là hình gì?

- Từ phần trên, ta đã chứng minh được:
  - Nếu $AC \perp BD$, thì $IJ \perp JK$ và $KH \perp HI$.
  - Nếu $AC = BD$, thì $IJ = KH = JK = HI$.
- Kết hợp hai điều kiện trên, ta thấy tứ giác IJHK vừa là hình vuông (do các góc vuông) và hình thoi (do các cạnh bằng nhau).
- Do đó, tứ giác IJHK là hình vuông.

4. Cho $AB = 4~cm, CD = 8~cm, BC = 5\sqrt{2}~cm$. Tính chu vi của tứ giác IJHK.

- Ta có $I, J, H, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, CD, DA$.
- Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có:
  - $IJ = \frac{1}{2}AC$
  - $KH = \frac{1}{2}AC$
  - $JK = \frac{1}{2}BD$
  - $HI = \frac{1}{2}BD$

- Ta cần tính $AC$ và $BD$:
  - Trong tam giác vuông $ABC$, ta có:
    $$
    AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 50} = \sqrt{66}
    $$
  - Trong tam giác vuông $BCD$, ta có:
    $$
    BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 8^2} = \sqrt{50 + 64} = \sqrt{114}
    $$

- Vậy:
  - $IJ = \frac{1}{2}\sqrt{66}$
  - $KH = \frac{1}{2}\sqrt{66}$
  - $JK = \frac{1}{2}\sqrt{114}$
  - $HI = \frac{1}{2}\sqrt{114}$

- Chu vi của tứ giác IJHK là:
  $$
  P_{IJHK} = IJ + JK + KH + HI = \frac{1}{2}\sqrt{66} + \frac{1}{2}\sqrt{114} + \frac{1}{2}\sqrt{66} + \frac{1}{2}\sqrt{114} = \sqrt{66} + \sqrt{114}
  $$

Đáp số: 
1. Tứ giác IJHK là hình vuông.
2. Tứ giác IJHK là hình thoi.
3. Tứ giác IJHK là hình vuông.
4. Chu vi của tứ giác IJHK là $\sqrt{66} + \sqrt{114}$.

King failed · Answer

{"userId":5108398,"userName":"Vĩnh Tường Nguyễn"}

Giải:

1. Chứng minh AC vuông góc BD thì tứ giác IJHK là hình gì?

Xét tam giác ABC: IJ là đường trung bình nên IJ // AC và IJ = 1/2 AC.
Xét tam giác ADC: KH là đường trung bình nên KH // AC và KH = 1/2 AC.
Suy ra: IJ // KH và IJ = KH.
Tương tự, ta chứng minh được IH // JK và IH = JK.
Kết luận: Tứ giác IJHK là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
Mặt khác: Vì AC vuông góc BD, IJ // AC, KH // AC nên IJ vuông góc với BD và KH vuông góc với BD.
Kết luận: Tứ giác IJHK là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).

2. Chứng minh AC = BD thì tứ giác IJHK là hình gì?

Xét tứ giác ABDC:AB // CD (tính chất hình thang)
AC = BD (giả thiết)
Suy ra ABDC là hình thang cân.
Trong hình thang cân: Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra: IJ = KH = 1/2 AC = 1/2 BD.
Kết luận: Tứ giác IJHK là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

3. Chứng minh AC vuông góc BD và AC = BD thì tứ giác IJHK là hình gì?

Từ kết quả câu 1 và 2:Nếu AC vuông góc BD thì IJHK là hình chữ nhật.
Nếu AC = BD thì IJHK là hình thoi.
Kết hợp cả hai điều kiện: IJHK là hình vuông (hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau).

4. Tính chu vi của tứ giác IJHK:

Tính độ dài các cạnh:IJ = KH = 1/2 AC
IH = JK = 1/2 BD
Để tính AC và BD, ta cần sử dụng định lý Pytago trong các tam giác vuông.
Tính chu vi: Chu vi IJHK = 2(IJ + IH).

Giải chi tiết câu 4:

Xét tam giác ABC vuông tại A:AC^2 = BC^2 - AB^2 = (5√2)^2 - 4^2 = 18
AC = √18 = 3√2 cm
Xét tam giác ADC vuông tại D:BD^2 = BC^2 - CD^2 = (5√2)^2 - 8^2 = 2
BD = √2 cm
Tính độ dài IJ và IH:IJ = KH = 1/2 AC = 3√2 / 2 cm
IH = JK = 1/2 BD = √2 / 2 cm
Tính chu vi IJHK:Chu vi = 2(IJ + IH) = 2(3√2/2 + √2/2) = 4√2 cm.

Kết luận: Chu vi của tứ giác IJHK là 4√2 cm.