Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và CB. gọi e và f là giao điểm của mn với bd và ac.chứng minh ef=1/2(CD - AB)

Để chứng minh \( EF = \frac{1}{2}(CD - AB) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm trung điểm và đường thẳng MN: - Gọi \( M \) là trung điểm của \( AD \), tức là \( AM = MD \). - Gọi \( N \) là trung điểm của \( CB \), tức là \( CN = NB \). - Đường thẳng \( MN \) cắt \( BD \) tại \( E \) và cắt \( AC \) tại \( F \). 2. Xác định các tam giác đồng dạng: - Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( CDB \): - \( AB \parallel CD \) nên góc \( BAD = \) góc \( CDA \) (góc so le trong). - Góc \( ABD = \) góc \( CBD \) (góc chung). - Do đó, tam giác \( ABD \) đồng dạng với tam giác \( CDB \) theo tỉ số \( \frac{AB}{CD} \). 3. Xác định các đoạn thẳng trên đường thẳng MN: - Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \) và \( CB \) nên \( MN \) song song với \( AB \) và \( CD \) (theo tính chất đường trung bình trong tam giác). - Do đó, \( MN \) cũng là đường trung bình của tam giác \( ABD \) và tam giác \( CDB \). 4. Tính độ dài đoạn thẳng EF: - Ta có \( MN \) song song với \( AB \) và \( CD \), do đó \( MN \) chia đôi các đoạn thẳng \( BD \) và \( AC \) tại \( E \) và \( F \) tương ứng. - Độ dài đoạn thẳng \( MN \) bằng trung bình cộng của \( AB \) và \( CD \), tức là \( MN = \frac{AB + CD}{2} \). 5. Xác định đoạn thẳng EF: - Vì \( MN \) chia đôi \( BD \) và \( AC \), do đó đoạn thẳng \( EF \) nằm giữa \( AB \) và \( CD \) và bằng nửa khoảng cách giữa \( CD \) và \( AB \). - Do đó, \( EF = \frac{CD - AB}{2} \). Kết luận: \( EF = \frac{1}{2}(CD - AB) \).