Ukkkkkkkkkkk

Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm diện tích phần bị cắt sao cho thể tích khối chóp hình thành sau khi gập và may lại là lớn nhất. Bước 1: Xác định các thông số ban đầu - Tấm bạt hình vuông cạnh \( a \). - Phần tô đậm là một hình vuông cạnh \( x \). Bước 2: Xác định diện tích phần bị cắt Diện tích phần bị cắt là: \[ S_{\text{cắt}} = x^2 \] Bước 3: Xác định diện tích phần còn lại Diện tích phần còn lại sau khi cắt là: \[ S_{\text{còn lại}} = a^2 - x^2 \] Bước 4: Xác định diện tích đáy và chiều cao của khối chóp - Diện tích đáy của khối chóp là: \[ S_{\text{đáy}} = (a - x)^2 \] - Chiều cao của khối chóp là: \[ h = \sqrt{x^2 - \left(\frac{a-x}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 - \frac{(a-x)^2}{4}} = \sqrt{\frac{4x^2 - (a-x)^2}{4}} = \sqrt{\frac{4x^2 - a^2 + 2ax - x^2}{4}} = \sqrt{\frac{3x^2 + 2ax - a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3x^2 + 2ax - a^2}}{2} \] Bước 5: Xác định thể tích của khối chóp Thể tích của khối chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h = \frac{1}{3} \times (a - x)^2 \times \frac{\sqrt{3x^2 + 2ax - a^2}}{2} = \frac{(a - x)^2 \sqrt{3x^2 + 2ax - a^2}}{6} \] Bước 6: Tìm giá trị của \( x \) để thể tích lớn nhất Để tìm giá trị của \( x \) làm cho thể tích lớn nhất, chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm. Gọi \( f(x) = \frac{(a - x)^2 \sqrt{3x^2 + 2ax - a^2}}{6} \). Tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{6} \left[ 2(a - x)(-1) \sqrt{3x^2 + 2ax - a^2} + (a - x)^2 \frac{1}{2\sqrt{3x^2 + 2ax - a^2}} (6x + 2a) \right] \] \[ f'(x) = \frac{1}{6} \left[ -2(a - x) \sqrt{3x^2 + 2ax - a^2} + (a - x)^2 \frac{3x + a}{\sqrt{3x^2 + 2ax - a^2}} \right] \] \[ f'(x) = \frac{1}{6} \left[ \frac{-2(a - x)(3x^2 + 2ax - a^2) + (a - x)^2 (3x + a)}{\sqrt{3x^2 + 2ax - a^2}} \right] \] \[ f'(x) = \frac{1}{6} \left[ \frac{-2(a - x)(3x^2 + 2ax - a^2) + (a - x)^2 (3x + a)}{\sqrt{3x^2 + 2ax - a^2}} \right] \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ -2(a - x)(3x^2 + 2ax - a^2) + (a - x)^2 (3x + a) = 0 \] \[ (a - x) \left[ -2(3x^2 + 2ax - a^2) + (a - x)(3x + a) \right] = 0 \] Giải phương trình: \[ -2(3x^2 + 2ax - a^2) + (a - x)(3x + a) = 0 \] \[ -6x^2 - 4ax + 2a^2 + 3ax + a^2 - 3x^2 - ax = 0 \] \[ -9x^2 - 2ax + 3a^2 = 0 \] \[ 9x^2 + 2ax - 3a^2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-2a \pm \sqrt{(2a)^2 + 4 \cdot 9 \cdot 3a^2}}{2 \cdot 9} = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2 + 108a^2}}{18} = \frac{-2a \pm \sqrt{112a^2}}{18} = \frac{-2a \pm 4a\sqrt{7}}{18} = \frac{-a \pm 2a\sqrt{7}}{9} \] Chọn nghiệm dương: \[ x = \frac{-a + 2a\sqrt{7}}{9} = \frac{a(2\sqrt{7} - 1)}{9} \] Bước 7: Tính diện tích phần bị cắt Diện tích phần bị cắt là: \[ S_{\text{cắt}} = x^2 = \left( \frac{a(2\sqrt{7} - 1)}{9} \right)^2 = \frac{a^2 (2\sqrt{7} - 1)^2}{81} = \frac{a^2 (28 - 4\sqrt{7} + 1)}{81} = \frac{a^2 (29 - 4\sqrt{7})}{81} \] Đáp số: \[ \boxed{\frac{a^2 (29 - 4\sqrt{7})}{81}} \] Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét ba trường hợp khác nhau mà người đàn ông có thể chọn để đến điểm B nhanh nhất. Trường hợp 1: Chèo thuyền trực tiếp từ A đến B - Quãng đường AB là một đường chéo của hình chữ nhật với chiều rộng là 3 km và chiều dài là 8 km. - Ta tính quãng đường AB bằng công thức Pythagoras: \[ AB = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \approx 8.54 \text{ km} \] - Thời gian để chèo thuyền từ A đến B: \[ t_1 = \frac{8.54 \text{ km}}{5 \text{ km/h}} = 1.708 \text{ h} \approx 102.48 \text{ phút} \] Trường hợp 2: Chèo thuyền từ A đến C rồi chạy từ C đến B - Quãng đường AC là 3 km. - Thời gian để chèo thuyền từ A đến C: \[ t_{AC} = \frac{3 \text{ km}}{5 \text{ km/h}} = 0.6 \text{ h} = 36 \text{ phút} \] - Quãng đường CB là 8 km. - Thời gian để chạy từ C đến B: \[ t_{CB} = \frac{8 \text{ km}}{10 \text{ km/h}} = 0.8 \text{ h} = 48 \text{ phút} \] - Tổng thời gian trong trường hợp này: \[ t_2 = t_{AC} + t_{CB} = 36 \text{ phút} + 48 \text{ phút} = 84 \text{ phút} \] Trường hợp 3: Chèo thuyền từ A đến D rồi chạy từ D đến B - Giả sử điểm D nằm trên đoạn CB sao cho quãng đường AD là x km và DB là y km. - Ta có: \[ x^2 + 3^2 = y^2 \] \[ x + y = 8 \] - Thay \( y = 8 - x \) vào phương trình đầu tiên: \[ x^2 + 9 = (8 - x)^2 \] \[ x^2 + 9 = 64 - 16x + x^2 \] \[ 9 = 64 - 16x \] \[ 16x = 55 \] \[ x = \frac{55}{16} \approx 3.4375 \text{ km} \] \[ y = 8 - 3.4375 = 4.5625 \text{ km} \] - Thời gian để chèo thuyền từ A đến D: \[ t_{AD} = \frac{3.4375 \text{ km}}{5 \text{ km/h}} = 0.6875 \text{ h} = 41.25 \text{ phút} \] - Thời gian để chạy từ D đến B: \[ t_{DB} = \frac{4.5625 \text{ km}}{10 \text{ km/h}} = 0.45625 \text{ h} = 27.375 \text{ phút} \] - Tổng thời gian trong trường hợp này: \[ t_3 = t_{AD} + t_{DB} = 41.25 \text{ phút} + 27.375 \text{ phút} = 68.625 \text{ phút} \] Kết luận Trong ba trường hợp trên, thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là trong trường hợp thứ ba, tức là chèo thuyền từ A đến D rồi chạy từ D đến B. Do đó, thời gian ngắn nhất \( t \) là: \[ t = 68.625 \text{ phút} \approx 69 \text{ phút} \] Đáp số: \( t = 69 \text{ phút} \)