cho 2 stn a,b thỏa mãn a, a+ b, a+2b,a+3b,......,a+6b đều là các số nguyên tố lớn hơn 7.CHỨNG MINH RẰNG b chia hết cho 210
Giải hộ mình câu này với các bạn

Question

quả nho xinh tươi · Accepted Answer

Do a, a + b, a + 2b, ... , a + 6b đều là số nguyên tố lớn hơn 7 nên đều là số lẻ và không chia hết cho 7
- Vì a và a + b cùng lẻ nên
$\displaystyle a+b-a=b\vdots 2$ (lẻ + lẻ = chẵn )
- Vì a, a + b, a + 2b, ... , a + 6b không chia hết cho 7 nên khi chia cho 7 ít nhất hai số có cùng số dư
+ Nếu: a và a + b có cùng số dư $\displaystyle \Rightarrow a+b-a=b\ \vdots 7$
+ Nếu a và a + 2b có cùng số dư $\displaystyle \Rightarrow a+2b-a=2b\vdots 7$ mà $\displaystyle ( 2,7) =1\Rightarrow b\vdots 7$
+ Nếu a và a + 3b có cung số dư $\displaystyle \Rightarrow a+3b-a=3\ \vdots 7$ mà $\displaystyle ( 3,7) =1$ $\displaystyle \Rightarrow b\vdots 7$
Tương tự với các trường hợp còn lại đều được $\displaystyle b\vdots 7$
$\displaystyle \Rightarrow b\vdots 7$
- Vì a, a + b, a + 2b, ... , a + 6b là số nguyên tố lớn hơn 7 nên a, a + b, a + 2b, ... , a + 6b đều không chia hết cho 3 và 5. Chứng minh tương tự cũng được $\displaystyle b\vdots 3,\ b\vdots 5$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow b\vdots ( 3.5.7.2)\
\Rightarrow b\vdots 210
\end{array}$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $ b $ chia hết cho 210, chúng ta sẽ kiểm tra các trường hợp chia hết cho 2, 3, 5 và 7.

1. Chứng minh $ b $ chia hết cho 2:
   - Xét dãy số $ a, a+b, a+2b, a+3b, \ldots, a+6b $. 
   - Trong dãy này, nếu $ b $ không chia hết cho 2 thì các số $ a, a+b, a+2b, \ldots, a+6b $ sẽ có các số chẵn lẻ xen kẽ.
   - Vì $ a $ là số nguyên tố lớn hơn 7, nên $ a $ phải là số lẻ. Do đó, $ a + b $ sẽ là số chẵn nếu $ b $ là số lẻ.
   - Số chẵn lớn hơn 2 duy nhất là số nguyên tố là 2, nhưng $ a + b > 7 $, nên $ a + b $ không thể là số nguyên tố.
   - Vậy $ b $ phải chia hết cho 2 để đảm bảo tất cả các số trong dãy đều là số lẻ và có thể là số nguyên tố.

2. Chứng minh $ b $ chia hết cho 3:
   - Xét dãy số $ a, a+b, a+2b, a+3b, \ldots, a+6b $.
   - Trong dãy này, nếu $ b $ không chia hết cho 3 thì các số $ a, a+b, a+2b, \ldots, a+6b $ sẽ có các số chia hết cho 3 xen kẽ.
   - Vì $ a $ là số nguyên tố lớn hơn 7, nên $ a $ không chia hết cho 3.
   - Nếu $ b $ không chia hết cho 3, thì trong dãy sẽ có ít nhất một số chia hết cho 3, và số đó không thể là số nguyên tố.
   - Vậy $ b $ phải chia hết cho 3 để đảm bảo tất cả các số trong dãy đều không chia hết cho 3 và có thể là số nguyên tố.

3. Chứng minh $ b $ chia hết cho 5:
   - Xét dãy số $ a, a+b, a+2b, a+3b, \ldots, a+6b $.
   - Trong dãy này, nếu $ b $ không chia hết cho 5 thì các số $ a, a+b, a+2b, \ldots, a+6b $ sẽ có các số chia hết cho 5 xen kẽ.
   - Vì $ a $ là số nguyên tố lớn hơn 7, nên $ a $ không chia hết cho 5.
   - Nếu $ b $ không chia hết cho 5, thì trong dãy sẽ có ít nhất một số chia hết cho 5, và số đó không thể là số nguyên tố.
   - Vậy $ b $ phải chia hết cho 5 để đảm bảo tất cả các số trong dãy đều không chia hết cho 5 và có thể là số nguyên tố.

4. Chứng minh $ b $ chia hết cho 7:
   - Xét dãy số $ a, a+b, a+2b, a+3b, \ldots, a+6b $.
   - Trong dãy này, nếu $ b $ không chia hết cho 7 thì các số $ a, a+b, a+2b, \ldots, a+6b $ sẽ có các số chia hết cho 7 xen kẽ.
   - Vì $ a $ là số nguyên tố lớn hơn 7, nên $ a $ không chia hết cho 7.
   - Nếu $ b $ không chia hết cho 7, thì trong dãy sẽ có ít nhất một số chia hết cho 7, và số đó không thể là số nguyên tố.
   - Vậy $ b $ phải chia hết cho 7 để đảm bảo tất cả các số trong dãy đều không chia hết cho 7 và có thể là số nguyên tố.

Từ các chứng minh trên, ta thấy rằng $ b $ phải chia hết cho 2, 3, 5 và 7. Vậy $ b $ phải chia hết cho $ 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 $.

Đáp số: $ b $ chia hết cho 210.

Vũ Như Quỳnh · Answer

{"userId":5156817,"userName":"Gia Khánh Phạm"}b chia hết cho 2:

Giả sử b là số lẻ. Khi đó, nếu a là số nguyên tố lẻ (vì a > 7 nên chắc chắn a lẻ), thì a + b sẽ là số chẵn lớn hơn 2 (vì a và b đều lớn hơn 7), do đó a + b là hợp số, trái với giả thiết. Vậy b phải là số chẵn, tức b chia hết cho 2.

b chia hết cho 3:

Xét 3 số a, a + b, a + 2b. Vì chúng đều là số nguyên tố lớn hơn 3, nên chúng không chia hết cho 3. Vậy khi chia cho 3, chúng sẽ nhận một trong hai số dư là 1 hoặc 2. Theo nguyên lý Dirichlet (nguyên lý chuồng bồ câu), trong 3 số này, tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3. Giả sử đó là a + mb và a + nb (0 ≤ m < n ≤ 2). Khi đó (a + nb) - (a + mb) = (n - m)b chia hết cho 3. Vì 1 ≤ n - m ≤ 2, nên n - m chỉ có thể là 1 hoặc 2. Do đó, hoặc b chia hết cho 3, hoặc 2b chia hết cho 3, suy ra b chia hết cho 3.

b chia hết cho 5:

Tương tự như trên, xét 5 số a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b. Khi chia cho 5, chúng sẽ nhận một trong các số dư 1, 2, 3 hoặc 4. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 5. Hiệu của chúng sẽ có dạng (n - m)b, với 1 ≤ n - m ≤ 4. Do đó, b chia hết cho 5.

b chia hết cho 7:

Xét 7 số a, a + b, a + 2b, ..., a + 6b. Khi chia cho 7, chúng sẽ nhận một trong các số dư 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 7. Hiệu của chúng sẽ có dạng (n - m)b, với 1 ≤ n - m ≤ 6. Do đó, b chia hết cho 7.

Kết luận:

Vì b chia hết cho 2, 3, 5 và 7, mà 2, 3, 5, 7 là các số nguyên tố cùng nhau, nên b chia hết cho tích của chúng, tức là b chia hết cho 2 * 3 * 5 * 7 = 210.

Vậy, ta đã chứng minh được b chia hết cho 210.

cho 2 stn a,b thỏa mãn a, a+ b, a+2b,a+3b,......,a+6b đều là các số nguyên tố lớn hơn 7.CHỨNG MINH RẰNG b chia hết cho 210 Giải hộ mình câu này với các bạn