giúp tôi bài 6

Bài 6. Để tính $\cos \angle AMC$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài cạnh AC: - Ta sử dụng công thức余弦定理来计算边AC的长度： \[ AC^2 = BA^2 + BC^2 - 2 \cdot BA \cdot BC \cdot \cos(\angle B) \] 将已知值代入： \[ AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) \] 因为$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$，所以： \[ AC^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 25 - 15 = 19 \] 所以： \[ AC = \sqrt{19} \] 2. 确定中线AM的长度： - 使用中线公式（Apollonius's theorem）： \[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} \] 将已知值代入： \[ AM^2 = \frac{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{19})^2 - 5^2}{4} = \frac{2 \cdot 9 + 2 \cdot 19 - 25}{4} = \frac{18 + 38 - 25}{4} = \frac{31}{4} \] 所以： \[ AM = \sqrt{\frac{31}{4}} = \frac{\sqrt{31}}{2} \] 3. 计算$\cos \angle AMC$： - 使用余弦定理在三角形AMC中： \[ MC = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} \] \[ \cos \angle AMC = \frac{AM^2 + MC^2 - AC^2}{2 \cdot AM \cdot MC} \] 将已知值代入： \[ \cos \angle AMC = \frac{\left(\frac{\sqrt{31}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 19}{2 \cdot \frac{\sqrt{31}}{2} \cdot \frac{5}{2}} \] \[ = \frac{\frac{31}{4} + \frac{25}{4} - 19}{\frac{5\sqrt{31}}{2}} \] \[ = \frac{\frac{56}{4} - 19}{\frac{5\sqrt{31}}{2}} \] \[ = \frac{14 - 19}{\frac{5\sqrt{31}}{2}} \] \[ = \frac{-5}{\frac{5\sqrt{31}}{2}} \] \[ = \frac{-5 \cdot 2}{5\sqrt{31}} \] \[ = \frac{-2}{\sqrt{31}} \] \[ = -\frac{2}{\sqrt{31}} \] 因此，$\cos \angle AMC = -\frac{2}{\sqrt{31}}$。