Bài 5.
a) Ta có và , nên . Do đó, .
Ta cũng có , nên .
Vì và , nên .
Do đó, là hình chữ nhật vì tất cả các góc đều là .
b) Vì là hình chữ nhật, nên và .
Vì cân tại , nên là đường cao đồng thời là đường trung tuyến hạ từ đỉnh xuống đáy . Do đó, .
Vì và , nên .
Vì và , nên .
Do đó, và là các tam giác vuông có chung góc và .
Vậy (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Do đó, .
Vì và , nên .
Vậy là trung điểm của .
c) Vì là trung điểm của , nên .
Vì là hình chữ nhật, nên và .
Vì , nên .
Vì và , nên (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Do đó, .
Vì và , nên .
Vì và , nên .
Do đó, thẳng hàng.
Đáp số: a) là hình chữ nhật. b) là trung điểm của . c) Ba điểm thẳng hàng.
Bài 6.
a) Ta có M là trung điểm của BC và MN = MA nên tứ giác ABNC là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau là hình bình hành). Mà tam giác ABC vuông tại A nên tứ giác ABNC là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).
b) Trên tia AB, lấy điểm K sao cho B là trung điểm của AK. Ta có BK = BA và NC = BA (vì ABNC là hình chữ nhật). Suy ra BK = NC. Mà BK // NC (vì ABNC là hình chữ nhật). Vậy tứ giác BKNC là hình bình hành (tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành).
c) Ta có BKNC là hình bình hành nên OK là đường trung tuyến của tam giác BKN. Suy ra KO = 2OM (tính chất đường trung tuyến của tam giác).
Bài 7.
Bài 8.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường trung tuyến. Vẽ tia phân giác của góc ADB cắt AB tại M, tia phân giác của góc ADC cắt AC tại N. Chứng minh rằng:
a)
b) MN // BC
c) Giả sử MN = 5 cm, tính BC?
Giải:
a) Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A, nên AD là đường trung tuyến, suy ra BD = DC.
- Tia DM là phân giác của góc ADB, tia DN là phân giác của góc ADC.
Áp dụng định lý phân giác trong tam giác:
- Trong tam giác ADB, ta có .
- Trong tam giác ADC, ta có .
Vì BD = DC, nên , suy ra .
b) Ta đã chứng minh được . Theo định lý Thales đảo, suy ra MN // BC.
c) Ta có MN // BC, nên tam giác AMN và tam giác ABC đồng dạng theo tỉ số .
Giả sử MN = 5 cm, ta cần tìm BC.
Vì MN // BC và MN = 5 cm, nên tam giác AMN và tam giác ABC đồng dạng với tỉ số .
Do đó, BC = 10 cm.
Đáp số:
a)
b) MN // BC
c) BC = 10 cm