Giúp mình với!

Bài 1. a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=16:$ Thay $x=16$ vào biểu thức $A,$ ta được: $A=\frac{\sqrt{16}-1}{\sqrt{16}+1}=\frac{4-1}{4+1}=\frac{3}{5}$ Vậy giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$ là $\frac{3}{5}.$ b) Rút gọn biểu thức B: Điều kiện xác định: $x \geq 0, x \neq 1$. Ta có: $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} - \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} - \frac{2\sqrt{x}+4}{x-1}$ Rút gọn từng phân thức: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{x-\sqrt{x}}{x-1}$ $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1}$ $\frac{2\sqrt{x}+4}{x-1}$ Do đó: $B = \frac{x-\sqrt{x}}{x-1} - \frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1} - \frac{2\sqrt{x}+4}{x-1}$ $= \frac{(x-\sqrt{x}) - (x+2\sqrt{x}+1) - (2\sqrt{x}+4)}{x-1}$ $= \frac{x-\sqrt{x} - x - 2\sqrt{x} - 1 - 2\sqrt{x} - 4}{x-1}$ $= \frac{-5\sqrt{x} - 5}{x-1}$ $= \frac{-5(\sqrt{x} + 1)}{x-1}$ Vậy biểu thức B đã được rút gọn thành $\frac{-5(\sqrt{x} + 1)}{x-1}$. c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{x} - A.B$: Điều kiện xác định: $x \geq 0, x \neq 1$. Ta có: $A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$ $B = \frac{-5(\sqrt{x} + 1)}{x-1}$ Do đó: $P = \sqrt{x} - A.B$ $= \sqrt{x} - \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right) \left( \frac{-5(\sqrt{x} + 1)}{x-1} \right)$ $= \sqrt{x} - \left( \frac{(\sqrt{x} - 1)(-5(\sqrt{x} + 1))}{(\sqrt{x} + 1)(x-1)} \right)$ $= \sqrt{x} - \left( \frac{-5(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(x-1)} \right)$ $= \sqrt{x} - \left( \frac{-5(x - 1)}{x-1} \right)$ $= \sqrt{x} - (-5)$ $= \sqrt{x} + 5$ Biểu thức $P = \sqrt{x} + 5$ là một hàm số đồng biến theo $x$, do đó giá trị nhỏ nhất của $P$ sẽ xảy ra khi $x$ nhỏ nhất. Vì $x \geq 0$, giá trị nhỏ nhất của $x$ là $0$. Khi $x = 0$, ta có: $P = \sqrt{0} + 5 = 0 + 5 = 5$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $5$, đạt được khi $x = 0$. Bài 2. 1) Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là x (km/h) (x > 0) - Vận tốc của tàu tuần tra khi ngược dòng là: x - 2 (km/h) - Vận tốc của tàu tuần tra khi xuôi dòng là: x + 2 (km/h) Thời gian ngược dòng là: \[ \frac{60}{x - 2} \text{ (giờ)} \] Thời gian xuôi dòng là: \[ \frac{48}{x + 2} \text{ (giờ)} \] Theo đề bài, thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ: \[ \frac{60}{x - 2} - \frac{48}{x + 2} = 1 \] Quy đồng mẫu số và giải phương trình: \[ \frac{60(x + 2) - 48(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 1 \] \[ 60x + 120 - 48x + 96 = x^2 - 4 \] \[ 12x + 216 = x^2 - 4 \] \[ x^2 - 12x - 220 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 880}}{2} \] \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{1024}}{2} \] \[ x = \frac{12 \pm 32}{2} \] Có hai nghiệm: \[ x_1 = 22 \] \[ x_2 = -10 \] (loại vì x > 0) Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 km/h. 2) Gọi số ki-lô-mét mà hành khách có thể di chuyển được tối đa là x (km) (x > 0) - Chi phí cho 1 km tiếp theo là 12 nghìn đồng. Tổng chi phí là: \[ 15 + 12(x - 1) \leq 300 \] Giải bất phương trình: \[ 15 + 12x - 12 \leq 300 \] \[ 12x + 3 \leq 300 \] \[ 12x \leq 297 \] \[ x \leq 24,75 \] Vậy hành khách có thể di chuyển được tối đa là 25 km (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 1) Vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 km/h. 2) Hành khách có thể di chuyển được tối đa là 25 km. Bài 3. 1) Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. Gọi khoảng cách từ căn nhà đến chiếc xe là x (m). Ta có góc nghiêng giữa tầm mắt của học sinh và mặt đất là $38^0$. Trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc $38^0$ là: $\tan(38^0) = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{25 + 1,6}{x} = \frac{26,6}{x}$ Từ đó ta có: $x = \frac{26,6}{\tan(38^0)}$ Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\tan(38^0)$: $\tan(38^0) \approx 0,7813$ Do đó: $x = \frac{26,6}{0,7813} \approx 34,04$ (m) Vậy chiếc xe cách căn nhà khoảng 34,04 mét. 2) a) Chứng minh bốn điểm A, C, E, O cùng thuộc một đường tròn. - Ta có đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại C cắt AD ở E. Do đó, góc CAE là góc giữa tiếp tuyến và dây cung, nên góc CAE = góc COE (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung CE). - Mặt khác, góc CAE và góc COE đều là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp bốn điểm A, C, E, O. Do đó, bốn điểm A, C, E, O cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh $BC.BD=4R^2$ và OE song song với BD. - Ta có góc BCD = góc BAC (góc nội tiếp cùng chắn cung BD). - Góc BAC = góc BOD (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung BD). - Do đó, góc BCD = góc BOD. - Mặt khác, góc BCD và góc BOD là hai góc đồng vị, do đó BD // OE. - Ta có $BC.BD = 2R.BD = 2R.2R = 4R^2$. c) i) Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R). - Ta có đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt EC ở F. - Gọi H là hình chiếu của C trên AB, M là giao điểm của AC và OE. - Ta có góc OFB = góc ONB (hai góc so le trong). - Góc ONB = 90° (do ON vuông góc với BC). - Do đó, góc OFB = 90°, tức là BF vuông góc với bán kính OF. - Vậy BF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R). ii) Chứng minh khi điểm C di động trên đường tròn thì đường tròn ngoại tiếp HMN luôn đi qua điểm cố định. - Ta có H là hình chiếu của C trên AB, do đó H luôn nằm trên đường thẳng AB. - Mặt khác, N là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC và đường thẳng OE, do đó N luôn nằm trên đường thẳng OE. - Do đó, đường tròn ngoại tiếp HMN luôn đi qua điểm cố định là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng OE. Đáp số: Chiếc xe cách căn nhà khoảng 34,04 mét. Bài 4. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} + \frac{ca}{\sqrt{b^2+3}} \) với điều kiện \( a + b + c = 3 \) và \( a, b, c > 0 \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: \[ \left( \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} + \frac{ca}{\sqrt{b^2+3}} \right)^2 \leq \left( ab + bc + ca \right) \left( \frac{ab}{c^2+3} + \frac{bc}{a^2+3} + \frac{ca}{b^2+3} \right) \] Bước 2: Ta cần chứng minh rằng: \[ \frac{ab}{c^2+3} + \frac{bc}{a^2+3} + \frac{ca}{b^2+3} \leq 1 \] Bước 3: Xét biểu thức \( \frac{ab}{c^2+3} \): \[ \frac{ab}{c^2+3} \leq \frac{ab}{c^2 + a^2 + b^2} \] Do \( a + b + c = 3 \), ta có \( a^2 + b^2 + c^2 \geq 3 \) (theo bất đẳng thức AM-GM). Bước 4: Ta có: \[ \frac{ab}{c^2 + a^2 + b^2} \leq \frac{ab}{3} \] Bước 5: Tương tự cho các biểu thức còn lại: \[ \frac{bc}{a^2 + 3} \leq \frac{bc}{3}, \quad \frac{ca}{b^2 + 3} \leq \frac{ca}{3} \] Bước 6: Cộng các bất đẳng thức trên: \[ \frac{ab}{c^2 + 3} + \frac{bc}{a^2 + 3} + \frac{ca}{b^2 + 3} \leq \frac{ab}{3} + \frac{bc}{3} + \frac{ca}{3} = \frac{ab + bc + ca}{3} \] Bước 7: Ta biết rằng \( ab + bc + ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = 3 \) (theo bất đẳng thức AM-GM). Bước 8: Do đó: \[ \frac{ab + bc + ca}{3} \leq 1 \] Bước 9: Kết hợp các kết quả trên, ta có: \[ \left( \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} + \frac{ca}{\sqrt{b^2+3}} \right)^2 \leq (ab + bc + ca) \cdot 1 \leq 3 \] Bước 10: Suy ra: \[ \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} + \frac{ca}{\sqrt{b^2+3}} \leq \sqrt{3} \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là \( \sqrt{3} \), đạt được khi \( a = b = c = 1 \). Đáp số: \( \sqrt{3} \).