4^2022 - 4^2021 - 4^2020 -...-4^2-4-1

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và rút gọn biểu thức. Ta có biểu thức: \[ 4^{2022} - 4^{2021} - 4^{2020} - ... - 4^2 - 4 - 1 \] Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử lại để dễ dàng rút gọn: \[ 4^{2022} - 4^{2021} - 4^{2020} - ... - 4^2 - 4 - 1 \] Nhận thấy rằng: \[ 4^{2022} - 4^{2021} = 4^{2021}(4 - 1) = 4^{2021} \times 3 \] Tương tự: \[ 4^{2021} - 4^{2020} = 4^{2020}(4 - 1) = 4^{2020} \times 3 \] Cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ có: \[ 4^{2020} - 4^{2019} = 4^{2019} \times 3 \] \[ 4^{2019} - 4^{2018} = 4^{2018} \times 3 \] ... \[ 4^2 - 4 = 4 \times 3 \] \[ 4 - 1 = 3 \] Vậy biểu thức ban đầu có thể viết lại thành: \[ 4^{2021} \times 3 + 4^{2020} \times 3 + ... + 4 \times 3 + 3 \] Nhóm các hạng tử lại: \[ 3(4^{2021} + 4^{2020} + ... + 4 + 1) \] Nhận thấy rằng đây là tổng của một dãy số lũy thừa cơ sở 4: \[ 4^{2021} + 4^{2020} + ... + 4 + 1 \] Biểu thức trên là tổng của một dãy số lũy thừa cơ sở 4, và ta biết rằng tổng của dãy số lũy thừa cơ sở 4 là: \[ 4^{2022} - 1 \] Do đó: \[ 4^{2021} + 4^{2020} + ... + 4 + 1 = \frac{4^{2022} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{2022} - 1}{3} \] Vậy biểu thức ban đầu trở thành: \[ 3 \left( \frac{4^{2022} - 1}{3} \right) = 4^{2022} - 1 \] Đáp số: \( 4^{2022} - 1 \)