4^2022 - 4^2021 - 4^2020 -...-4^2-4-1

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích và rút gọn biểu thức.

Ta có biểu thức:
$$ 4^{2022} - 4^{2021} - 4^{2020} - ... - 4^2 - 4 - 1 $$

Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử lại để dễ dàng rút gọn:
$$ 4^{2022} - 4^{2021} - 4^{2020} - ... - 4^2 - 4 - 1 $$

Nhận thấy rằng:
$$ 4^{2022} - 4^{2021} = 4^{2021}(4 - 1) = 4^{2021} \times 3 $$

Tương tự:
$$ 4^{2021} - 4^{2020} = 4^{2020}(4 - 1) = 4^{2020} \times 3 $$

Cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ có:
$$ 4^{2020} - 4^{2019} = 4^{2019} \times 3 $$
$$ 4^{2019} - 4^{2018} = 4^{2018} \times 3 $$
...
$$ 4^2 - 4 = 4 \times 3 $$
$$ 4 - 1 = 3 $$

Vậy biểu thức ban đầu có thể viết lại thành:
$$ 4^{2021} \times 3 + 4^{2020} \times 3 + ... + 4 \times 3 + 3 $$

Nhóm các hạng tử lại:
$$ 3(4^{2021} + 4^{2020} + ... + 4 + 1) $$

Nhận thấy rằng đây là tổng của một dãy số lũy thừa cơ sở 4:
$$ 4^{2021} + 4^{2020} + ... + 4 + 1 $$

Biểu thức trên là tổng của một dãy số lũy thừa cơ sở 4, và ta biết rằng tổng của dãy số lũy thừa cơ sở 4 là:
$$ 4^{2022} - 1 $$

Do đó:
$$ 4^{2021} + 4^{2020} + ... + 4 + 1 = \frac{4^{2022} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{2022} - 1}{3} $$

Vậy biểu thức ban đầu trở thành:
$$ 3 \left( \frac{4^{2022} - 1}{3} \right) = 4^{2022} - 1 $$

Đáp số: $ 4^{2022} - 1 $