Xác định a, b sao cho : $6x^4-7x^3+ax^2+3x+2$ chia hết cho $x^2-x+b$

Question

Accepted Answer

Để đa thức $6x^4 - 7x^3 + ax^2 + 3x + 2$ chia hết cho đa thức $x^2 - x + b$, ta thực hiện phép chia đa thức và yêu cầu phần dư bằng 0.

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức $6x^4 - 7x^3 + ax^2 + 3x + 2$ cho $x^2 - x + b$.

Ta có:
$$6x^4 - 7x^3 + ax^2 + 3x + 2 = (x^2 - x + b)(6x^2 + px + q) + rx + s$$

Bước 2: Nhân vế trái với $x^2 - x + b$:
$$(x^2 - x + b)(6x^2 + px + q) = 6x^4 + px^3 + qx^2 - 6x^3 - px^2 - qx + 6bx^2 + pbx + bq$$

Gom nhóm các hạng tử theo lũy thừa của $x$:
$$= 6x^4 + (p - 6)x^3 + (q - p + 6b)x^2 + (-q + pb)x + bq$$

Bước 3: So sánh hệ số của các hạng tử tương ứng giữa $6x^4 - 7x^3 + ax^2 + 3x + 2$ và $6x^4 + (p - 6)x^3 + (q - p + 6b)x^2 + (-q + pb)x + bq$:

- Hệ số của $x^4$: $6 = 6$
- Hệ số của $x^3$: $-7 = p - 6$
- Hệ số của $x^2$: $a = q - p + 6b$
- Hệ số của $x$: $3 = -q + pb$
- Hệ số tự do: $2 = bq$

Bước 4: Giải hệ phương trình:
$$p - 6 = -7 \implies p = -1$$
$$3 = -q + (-1)b \implies 3 = -q - b \implies q = -3 - b$$
$$2 = bq \implies 2 = b(-3 - b) \implies 2 = -3b - b^2 \implies b^2 + 3b + 2 = 0$$

Giải phương trình $b^2 + 3b + 2 = 0$:
$$b^2 + 3b + 2 = 0 \implies (b + 1)(b + 2) = 0 \implies b = -1 \text{ hoặc } b = -2$$

Bước 5: Tìm $a$ tương ứng với mỗi giá trị của $b$:
- Nếu $b = -1$:
  $$q = -3 - (-1) = -2$$
  $$a = q - p + 6b = -2 - (-1) + 6(-1) = -2 + 1 - 6 = -7$$

- Nếu $b = -2$:
  $$q = -3 - (-2) = -1$$
  $$a = q - p + 6b = -1 - (-1) + 6(-2) = -1 + 1 - 12 = -12$$

Vậy, các cặp $(a, b)$ thỏa mãn là:
$$
(a, b) = (-7, -1) \text{ hoặc } (a, b) = (-12, -2)
$$

Xác định a, b sao cho : chia hết cho