Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 1. Trên bảng viết các số 2,6,12,20,...,9900. Mỗi lần cho phép xoá đi hai số a,b và thay bởi hai,số $\frac{3ab}{2a+b},\frac{3ab}{a+2b}.$ Thực hiện 100 lần thao tác trên, tính tổng nghịch đảo các số thu được.

Question

Accepted Answer

Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rằng mỗi lần thao tác, ta sẽ thay hai số $a$ và $b$ bằng hai số mới là $\frac{3ab}{2a+b}$ và $\frac{3ab}{a+2b}$. Ta cần kiểm tra xem tổng nghịch đảo của hai số mới này có liên quan gì đến tổng nghịch đảo của hai số ban đầu hay không.

Tổng nghịch đảo của hai số $a$ và $b$ là:
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$

Bây giờ, ta tính tổng nghịch đảo của hai số mới:
$$ \frac{1}{\frac{3ab}{2a+b}} + \frac{1}{\frac{3ab}{a+2b}} $$

Ta có:
$$ \frac{1}{\frac{3ab}{2a+b}} = \frac{2a+b}{3ab} $$
$$ \frac{1}{\frac{3ab}{a+2b}} = \frac{a+2b}{3ab} $$

Do đó, tổng nghịch đảo của hai số mới là:
$$ \frac{2a+b}{3ab} + \frac{a+2b}{3ab} = \frac{(2a+b) + (a+2b)}{3ab} = \frac{3a + 3b}{3ab} = \frac{3(a+b)}{3ab} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$

Như vậy, tổng nghịch đảo của hai số mới bằng tổng nghịch đảo của hai số ban đầu. Điều này có nghĩa là sau mỗi lần thao tác, tổng nghịch đảo của các số trên bảng không thay đổi.

Ban đầu, các số trên bảng là 2, 6, 12, 20, ..., 9900. Đây là dãy số $n(n+1)$ với $n$ từ 1 đến 99. Tổng nghịch đảo của các số ban đầu là:
$$ \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n(n+1)} $$

Ta biết rằng:
$$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$

Do đó, tổng nghịch đảo của các số ban đầu là:
$$ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) $$

Các số hạng giữa sẽ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại:
$$ 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} $$

Sau 100 lần thao tác, tổng nghịch đảo của các số thu được vẫn là $\frac{99}{100}$.

Đáp số: $\frac{99}{100}$