thhhjnnbhhj

Bài 8: Để chứng tỏ rằng \( A < 1 \), ta sẽ so sánh từng phân số trong biểu thức \( A \) với các phân số lớn hơn nhưng dễ tính hơn. Biểu thức \( A \) là: \[ A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{10^2} \] Ta sẽ so sánh từng phân số với các phân số lớn hơn nhưng dễ tính hơn: \[ \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \] \[ \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \] \[ \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \] \[ \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \] \[ \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \] \[ \frac{1}{8^2} = \frac{1}{64} \] \[ \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81} \] \[ \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} \] Bây giờ, ta sẽ so sánh từng phân số này với các phân số lớn hơn nhưng dễ tính hơn: \[ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} \] \[ \frac{1}{9} < \frac{1}{8} \] \[ \frac{1}{16} < \frac{1}{15} \] \[ \frac{1}{25} < \frac{1}{24} \] \[ \frac{1}{36} < \frac{1}{35} \] \[ \frac{1}{49} < \frac{1}{48} \] \[ \frac{1}{64} < \frac{1}{63} \] \[ \frac{1}{81} < \frac{1}{80} \] \[ \frac{1}{100} < \frac{1}{99} \] Tổng của các phân số lớn hơn này là: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{35} + \frac{1}{48} + \frac{1}{63} + \frac{1}{80} + \frac{1}{99} \] Ta thấy rằng: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{35} + \frac{1}{48} + \frac{1}{63} + \frac{1}{80} + \frac{1}{99} < 1 \] Do đó, biểu thức \( A \) cũng sẽ nhỏ hơn 1: \[ A < 1 \] Vậy ta đã chứng tỏ được rằng \( A < 1 \). Bài 9: a) Ta thấy: \[ A = \frac{2021}{2022} + \frac{2022}{2023} \] \[ B = \frac{2021 + 2022}{2023 + 2023} = \frac{4043}{4046} \] Ta sẽ so sánh từng phần của \(A\) và \(B\): - \(\frac{2021}{2022}\) gần bằng 1 nhưng nhỏ hơn 1. - \(\frac{2022}{2023}\) cũng gần bằng 1 nhưng nhỏ hơn 1. Do đó, tổng của hai phân số này sẽ lớn hơn \(\frac{4043}{4046}\). Vậy \(A > B\). b) Ta thấy: \[ A = \frac{2022 \times 2023 - 1}{2022 \times 2023} \] \[ B = \frac{2023 \times 2024 - 1}{2023 \times 2024} \] Ta sẽ so sánh từng phần của \(A\) và \(B\): - \(\frac{2022 \times 2023 - 1}{2022 \times 2023}\) gần bằng 1 nhưng nhỏ hơn 1. - \(\frac{2023 \times 2024 - 1}{2023 \times 2024}\) cũng gần bằng 1 nhưng nhỏ hơn 1. Do đó, ta cần so sánh các tử số và mẫu số của hai phân số này: - Tử số của \(A\) là \(2022 \times 2023 - 1\). - Mẫu số của \(A\) là \(2022 \times 2023\). - Tử số của \(B\) là \(2023 \times 2024 - 1\). - Mẫu số của \(B\) là \(2023 \times 2024\). Ta thấy rằng: \[ 2022 \times 2023 < 2023 \times 2024 \] Do đó, phân số \(\frac{2022 \times 2023 - 1}{2022 \times 2023}\) sẽ lớn hơn phân số \(\frac{2023 \times 2024 - 1}{2023 \times 2024}\). Vậy \(A > B\). Đáp số: a) \(A > B\) b) \(A > B\)