cứu mình với Bạn hãy điền số thích hợp vào ô trống.,Cho $A=\frac{\cos^24^0+\cos^26^0+...+\cos^286^0}{3\cot15^0\cot25^0...\cot75^0}.$,Khi đó: $A=$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính tổng các giá trị cos^2 của các góc từ 4° đến 86°:
   Ta biết rằng $\cos^2 x + \cos^2 (90^\circ - x) = 1$. Do đó, ta có thể nhóm các góc lại thành các cặp:
   $$
   (\cos^2 4^\circ + \cos^2 86^\circ) + (\cos^2 6^\circ + \cos^2 84^\circ) + ... + (\cos^2 44^\circ + \cos^2 46^\circ) + \cos^2 45^\circ
   $$
   Mỗi cặp có tổng là 1, và có 21 cặp như vậy (vì từ 4° đến 86° có 42 góc, chia đôi là 21 cặp). Ngoài ra, còn có $\cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$.
   Vậy tổng là:
   $$
   21 \times 1 + \frac{1}{2} = 21 + \frac{1}{2} = \frac{43}{2}
   $$

2. Tính tích các giá trị cot của các góc từ 15° đến 75°:
   Ta biết rằng $\cot(90^\circ - x) = \tan x$. Do đó, ta có thể nhóm các góc lại thành các cặp:
   $$
   (\cot 15^\circ \cdot \cot 75^\circ) \cdot (\cot 25^\circ \cdot \cot 65^\circ) \cdot ... \cdot (\cot 45^\circ)
   $$
   Mỗi cặp có tích là 1 (vì $\cot x \cdot \tan x = 1$), và có 7 cặp như vậy (vì từ 15° đến 75° có 14 góc, chia đôi là 7 cặp). Ngoài ra, còn có $\cot 45^\circ = 1$.
   Vậy tích là:
   $$
   1 \times 1 \times ... \times 1 = 1
   $$

3. Tính giá trị của A:
   $$
   A = \frac{\frac{43}{2}}{3 \times 1} = \frac{43}{6}
   $$

Vậy giá trị của $ A $ là:
$$
A = \frac{43}{6}
$$