dm timi 😭

Bài 1. a) $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=8 \quad (1)\\x+y=-1 \quad (2)\end{array}\right.$ Từ phương trình (2), ta có: \[ x = -1 - y \quad (3) \] Thay (3) vào (1): \[ 2(-1 - y) - 3y = 8 \] \[ -2 - 2y - 3y = 8 \] \[ -2 - 5y = 8 \] \[ -5y = 10 \] \[ y = -2 \] Thay $y = -2$ vào (3): \[ x = -1 - (-2) \] \[ x = -1 + 2 \] \[ x = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (1, -2)$. b) $\left\{\begin{array}{l}x-3y=-2 \quad (1)\\2x+3y=5 \quad (2)\end{array}\right.$ Cộng phương trình (1) và (2): \[ (x - 3y) + (2x + 3y) = -2 + 5 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \] Thay $x = 1$ vào (1): \[ 1 - 3y = -2 \] \[ -3y = -3 \] \[ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (1, 1)$. Bài 2. a) \( x^2 + 7x = 0 \) Phương pháp giải: - Ta thấy phương trình này có dạng \( ax^2 + bx = 0 \), ta có thể nhân \( x \) chung ra để giải phương trình bậc nhất. Bước 1: Nhân \( x \) chung ra: \[ x(x + 7) = 0 \] Bước 2: Áp dụng tính chất \( ab = 0 \) thì \( a = 0 \) hoặc \( b = 0 \): \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 7 = 0 \] Bước 3: Giải các phương trình bậc nhất: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -7 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \) hoặc \( x = -7 \). b) \( (3x - 1)^2 = 5(1 - 3x) \) Phương pháp giải: - Ta thấy phương trình này có dạng \( (ax + b)^2 = c(ax + b) \), ta có thể chuyển tất cả về một vế và nhân chung \( (ax + b) \). Bước 1: Chuyển tất cả về một vế: \[ (3x - 1)^2 - 5(1 - 3x) = 0 \] Bước 2: Nhân chung \( (3x - 1) \): \[ (3x - 1)(3x - 1 + 5) = 0 \] \[ (3x - 1)(3x + 4) = 0 \] Bước 3: Áp dụng tính chất \( ab = 0 \) thì \( a = 0 \) hoặc \( b = 0 \): \[ 3x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3x + 4 = 0 \] Bước 4: Giải các phương trình bậc nhất: \[ 3x = 1 \quad \text{hoặc} \quad 3x = -4 \] \[ x = \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{4}{3} \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{1}{3} \) hoặc \( x = -\frac{4}{3} \). Bài 3. 1) Giải bất phương trình: \(3x - (6 + 2x) \leq 3(x + 4)\) Bước 1: Mở ngoặc và thu gọn: \[3x - 6 - 2x \leq 3x + 12\] \[x - 6 \leq 3x + 12\] Bước 2: Chuyển các hạng tử liên quan đến \(x\) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[x - 3x \leq 12 + 6\] \[-2x \leq 18\] Bước 3: Chia cả hai vế cho \(-2\) (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[x \geq -9\] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(x \geq -9\) 2) Giải bất phương trình: \(3 - 2x - \frac{6 + 4x}{3} > 0\) Bước 1: Quy đồng mẫu số: \[3 - 2x - \frac{6 + 4x}{3} > 0\] \[\frac{9 - 6x - (6 + 4x)}{3} > 0\] \[\frac{9 - 6x - 6 - 4x}{3} > 0\] \[\frac{3 - 10x}{3} > 0\] Bước 2: Nhân cả hai vế với 3: \[3 - 10x > 0\] Bước 3: Chuyển các hạng tử liên quan đến \(x\) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[3 > 10x\] \[x < \frac{3}{10}\] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(x < \frac{3}{10}\) 3) Giải bất phương trình: \(\frac{8x + 3}{4} - \frac{3 - 2x}{3} \leq \frac{5 - 3x}{2} + 1\) Bước 1: Quy đồng mẫu số: \[\frac{3(8x + 3) - 4(3 - 2x)}{12} \leq \frac{6(5 - 3x) + 12}{12}\] \[\frac{24x + 9 - 12 + 8x}{12} \leq \frac{30 - 18x + 12}{12}\] \[\frac{32x - 3}{12} \leq \frac{42 - 18x}{12}\] Bước 2: Nhân cả hai vế với 12: \[32x - 3 \leq 42 - 18x\] Bước 3: Chuyển các hạng tử liên quan đến \(x\) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[32x + 18x \leq 42 + 3\] \[50x \leq 45\] Bước 4: Chia cả hai vế cho 50: \[x \leq \frac{9}{10}\] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(x \leq \frac{9}{10}\) 4) Giải bất phương trình: \(\frac{x + 2}{5} - x \geq \frac{3x - 3}{2} + \frac{1}{3}\) Bước 1: Quy đồng mẫu số: \[\frac{6(x + 2) - 30x}{30} \geq \frac{45x - 45 + 10}{30}\] \[\frac{6x + 12 - 30x}{30} \geq \frac{45x - 35}{30}\] \[\frac{-24x + 12}{30} \geq \frac{45x - 35}{30}\] Bước 2: Nhân cả hai vế với 30: \[-24x + 12 \geq 45x - 35\] Bước 3: Chuyển các hạng tử liên quan đến \(x\) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[-24x - 45x \geq -35 - 12\] \[-69x \geq -47\] Bước 4: Chia cả hai vế cho \(-69\) (nhớ đổi dấu bất phương trình): \[x \leq \frac{47}{69}\] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(x \leq \frac{47}{69}\) Bài 4. a) Ta có: \[ 2a + 3 > 2b + 3 \] Vì \( a > b \), nên khi nhân cả hai vế với 2 ta được: \[ 2a > 2b \] Thêm 3 vào cả hai vế ta được: \[ 2a + 3 > 2b + 3 \] b) Ta có: \[ 5 - a < 5 - b \] Vì \( a > b \), nên khi lấy 5 trừ đi \( a \) và \( b \) ta được: \[ 5 - a < 5 - b \] c) Ta có: \[ 4 - 3a < 4 - 3b \] Vì \( a > b \), nên khi nhân cả hai vế với -3 ta được: \[ -3a < -3b \] Thêm 4 vào cả hai vế ta được: \[ 4 - 3a < 4 - 3b \] Đáp số: a) \( 2a + 3 > 2b + 3 \) b) \( 5 - a < 5 - b \) c) \( 4 - 3a < 4 - 3b \) Bài 5. a) So sánh \(2\sqrt{3}\) và \(3\sqrt{2}\): - Ta có: \(2\sqrt{3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12}\) - Ta có: \(3\sqrt{2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18}\) Vì \(12 < 18\) nên \(\sqrt{12} < \sqrt{18}\). Do đó, \(2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}\). b) So sánh \(1 + \sqrt{7}\) và \(5 + \sqrt{7}\): - Ta thấy rằng \(1 < 5\), do đó \(1 + \sqrt{7} < 5 + \sqrt{7}\). c) So sánh \(2^{2024} + 3\) và \(2^{2025} + 3\): - Ta có: \(2^{2025} = 2 \cdot 2^{2024}\) - Vì \(2 \cdot 2^{2024} > 2^{2024}\), do đó \(2^{2025} + 3 > 2^{2024} + 3\). Kết luận: a) \(2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}\) b) \(1 + \sqrt{7} < 5 + \sqrt{7}\) c) \(2^{2024} + 3 < 2^{2025} + 3\) Bài 6. 1) Thực hiện phép tính: $3\sqrt{2} - 4\sqrt{18} + 2\sqrt{32} - \sqrt{50}$ Đầu tiên, ta rút gọn các căn bậc hai: \[ 4\sqrt{18} = 4\sqrt{9 \times 2} = 4 \times 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \] \[ 2\sqrt{32} = 2\sqrt{16 \times 2} = 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \] \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 3\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \] Tính tổng các số hạng: \[ (3 - 12 + 8 - 5)\sqrt{2} = -6\sqrt{2} \] Vậy kết quả là: \[ -6\sqrt{2} \] 2) Thực hiện phép tính: $(2\sqrt{24} - 2\sqrt{54}) : \sqrt{6} + 3\sqrt{6} - \sqrt{150}$ Rút gọn các căn bậc hai: \[ 2\sqrt{24} = 2\sqrt{4 \times 6} = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \] \[ 2\sqrt{54} = 2\sqrt{9 \times 6} = 2 \times 3\sqrt{6} = 6\sqrt{6} \] \[ \sqrt{150} = \sqrt{25 \times 6} = 5\sqrt{6} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ (4\sqrt{6} - 6\sqrt{6}) : \sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 5\sqrt{6} \] Tính hiệu các số hạng: \[ (-2\sqrt{6}) : \sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 5\sqrt{6} \] Chia các số hạng: \[ -2 + 3\sqrt{6} - 5\sqrt{6} \] Tính tổng các số hạng: \[ -2 - 2\sqrt{6} \] Vậy kết quả là: \[ -2 - 2\sqrt{6} \] 3) Thực hiện phép tính: $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \frac{4}{1 - \sqrt{3}} - (\sqrt{3} + 1)^2$ Rút gọn các căn bậc hai: \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3} \] \[ \frac{4}{1 - \sqrt{3}} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{4(1 + \sqrt{3})}{-2} = -2(1 + \sqrt{3}) = -2 - 2\sqrt{3} \] \[ (\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 2 - \sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3} - (4 + 2\sqrt{3}) \] Tính tổng các số hạng: \[ 2 - \sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} = -4 - 5\sqrt{3} \] Vậy kết quả là: \[ -4 - 5\sqrt{3} \] 4) Thực hiện phép tính: $(2\sqrt{\frac{16}{3}} - 3\sqrt{\frac{1}{27}} - 6\sqrt{\frac{4}{75}}) \cdot \sqrt{3}$ Rút gọn các căn bậc hai: \[ 2\sqrt{\frac{16}{3}} = 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \] \[ 3\sqrt{\frac{1}{27}} = 3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ 6\sqrt{\frac{4}{75}} = 6 \cdot \frac{2}{5\sqrt{3}} = \frac{12}{5\sqrt{3}} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \left( \frac{8}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{12}{5\sqrt{3}} \right) \cdot \sqrt{3} \] Tính hiệu các số hạng: \[ \left( \frac{40}{5\sqrt{3}} - \frac{5}{5\sqrt{3}} - \frac{12}{5\sqrt{3}} \right) \cdot \sqrt{3} = \left( \frac{23}{5\sqrt{3}} \right) \cdot \sqrt{3} = \frac{23}{5} \] Vậy kết quả là: \[ \frac{23}{5} \] 5) Thực hiện phép tính: $\frac{3 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} - (2 + \sqrt{3})$ Rút gọn các phân số: \[ \frac{3 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 2 \] \[ \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2\sqrt{2} - 2 + 2 - \sqrt{2}}{2 - 1} = \sqrt{2} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} - 2 - \sqrt{3} \] Tính tổng các số hạng: \[ \sqrt{2} \] Vậy kết quả là: \[ \sqrt{2} \] 6) Thực hiện phép tính: $\left( \frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} \right) : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ Rút gọn các phân số: \[ \frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{2} - 1)}{1 - \sqrt{2}} = -\sqrt{7} \] \[ \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)}{1 - \sqrt{3}} = -\sqrt{5} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ (-\sqrt{7} - \sqrt{5}) : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \] Chia các số hạng: \[ (-\sqrt{7} - \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{5}) = -((\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2) = -(7 - 5) = -2 \] Vậy kết quả là: \[ -2 \] Bài 7. Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 4 \). a) Rút gọn biểu thức \( A \): Ta có: \[ A = \frac{3}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2x - 5\sqrt{x} + 10}{x - 4} \] Nhận thấy rằng \( x - 4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2) \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng: \[ A = \frac{3}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2x - 5\sqrt{x} + 10}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Tìm mẫu chung là \( (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2) \): \[ A = \frac{3(\sqrt{x} - 2) - \sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) + (2x - 5\sqrt{x} + 10)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Rút gọn tử số: \[ 3(\sqrt{x} - 2) = 3\sqrt{x} - 6 \] \[ -\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) = -x - 2\sqrt{x} \] \[ 2x - 5\sqrt{x} + 10 \] Cộng các hạng tử lại: \[ 3\sqrt{x} - 6 - x - 2\sqrt{x} + 2x - 5\sqrt{x} + 10 \] \[ = (3\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 5\sqrt{x}) + (-x + 2x) + (-6 + 10) \] \[ = -4\sqrt{x} + x + 4 \] Vậy biểu thức rút gọn là: \[ A = \frac{-4\sqrt{x} + x + 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \): Thay \( x = 16 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{-4\sqrt{16} + 16 + 4}{(\sqrt{16} + 2)(\sqrt{16} - 2)} \] \[ = \frac{-4 \cdot 4 + 16 + 4}{(4 + 2)(4 - 2)} \] \[ = \frac{-16 + 16 + 4}{6 \cdot 2} \] \[ = \frac{4}{12} \] \[ = \frac{1}{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \) là \( \frac{1}{3} \). Bài 8. Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 9 \). a) Rút gọn biểu thức \( P \): Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{7\sqrt{x} + 3}{9 - x} \] Nhận thấy rằng \( 9 - x = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) \), ta sẽ quy đồng các phân thức về mẫu chung là \( (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) \): \[ P = \frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} + \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} + \frac{7\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] Tính tử số của mỗi phân thức: \[ (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3) = x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3 = x + 4\sqrt{x} + 3 \] \[ 2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) = 2x - 6\sqrt{x} \] \[ 7\sqrt{x} + 3 \] Quy đồng và cộng các phân thức: \[ P = \frac{x + 4\sqrt{x} + 3 + 2x - 6\sqrt{x} + 7\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] \[ P = \frac{3x + 5\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \] b) Tính giá trị \( P \) khi \( x = 4 \): Thay \( x = 4 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ P = \frac{3(4) + 5\sqrt{4} + 6}{(\sqrt{4} - 3)(\sqrt{4} + 3)} \] \[ P = \frac{12 + 5(2) + 6}{(2 - 3)(2 + 3)} \] \[ P = \frac{12 + 10 + 6}{(-1)(5)} \] \[ P = \frac{28}{-5} \] \[ P = -\frac{28}{5} \] Đáp số: \( P = -\frac{28}{5} \) Bài 9. Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( B \): \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1} + \frac{4}{\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức để rút gọn biểu thức \( B \). Quy đồng mẫu số chung của ba phân thức là \( (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = x - 1 \). \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} - \frac{(2\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) - (2\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} + 1) + 4(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} \] \[ B = \frac{x - \sqrt{x} - (2x + 2\sqrt{x} + 4\sqrt{x} + 4) + 4\sqrt{x} + 4}{x - 1} \] \[ B = \frac{x - \sqrt{x} - 2x - 2\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 4 + 4\sqrt{x} + 4}{x - 1} \] \[ B = \frac{-x - 3\sqrt{x}}{x - 1} \] \[ B = \frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{x - 1} \] b) Tính giá trị \( B \) khi \( x = 4 - 2\sqrt{3} \): \[ B = \frac{-\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + 3)}{4 - 2\sqrt{3} - 1} \] \[ B = \frac{-\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + 3)}{3 - 2\sqrt{3}} \] c) Tìm các giá trị thực của \( x \) để \( B = \frac{4}{3} \): \[ \frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{x - 1} = \frac{4}{3} \] \[ -\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) = \frac{4}{3}(x - 1) \] \[ -3\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) = 4(x - 1) \] \[ -3x - 9\sqrt{x} = 4x - 4 \] \[ -7x - 9\sqrt{x} + 4 = 0 \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ -7t^2 - 9t + 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(-7)(4)}}{2(-7)} \] \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 112}}{-14} \] \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{193}}{-14} \] Do \( t = \sqrt{x} \geq 0 \), ta chỉ lấy nghiệm dương: \[ t = \frac{9 - \sqrt{193}}{-14} \] \[ t = \frac{\sqrt{193} - 9}{14} \] \[ x = \left( \frac{\sqrt{193} - 9}{14} \right)^2 \] Đáp số: a) \( B = \frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{x - 1} \) b) \( B = \frac{-\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} + 3)}{3 - 2\sqrt{3}} \) c) \( x = \left( \frac{\sqrt{193} - 9}{14} \right)^2 \)