trả lời tự luận

Câu 1: Trước tiên, ta cần hiểu rằng khi một chất điểm ở trạng thái cân bằng dưới tác động của ba lực, tổng véc-tơ của ba lực này phải bằng không. Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0} \] Từ đây, ta có thể suy ra: \[ \overrightarrow{F_2} = -(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_3}) \] Bây giờ, ta sẽ phân tích từng thành phần của các véc-tơ lực theo phương ngang (x) và phương thẳng đứng (y). Giả sử: - Lực $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là $F_1$ và hướng thẳng đứng xuống. - Lực $\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn là 10 N và hướng thẳng đứng lên. Do đó, ta có: - Thành phần y của $\overrightarrow{F_1}$ là $-F_1$ (vì nó hướng xuống). - Thành phần y của $\overrightarrow{F_3}$ là 10 N (vì nó hướng lên). Vì chất điểm ở trạng thái cân bằng, tổng các thành phần y của các lực phải bằng 0: \[ -F_1 + 10 = 0 \] Từ đây, ta giải ra được: \[ F_1 = 10 \text{ N} \] Tiếp theo, ta cần tính độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$. Vì $\overrightarrow{F_2}$ phải cân bằng với tổng của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_3}$, ta có: \[ \overrightarrow{F_2} = -(\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_3}) = -(10 \text{ N} - 10 \text{ N}) = 0 \text{ N} \] Như vậy, độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$ là 0 N. Đáp số: Độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$ là 0 N. Câu 2: Để tìm tọa độ trực tâm \( H(a, b) \) của tam giác \( ABC \), ta cần tìm giao điểm của hai đường cao hạ từ đỉnh \( A \) và \( B \). 1. Tìm phương trình đường thẳng \( BC \): - Điểm \( B(3, 0) \) và \( C(2, 6) \). - Vector \( \overrightarrow{BC} = (-1, 6) \). - Phương trình đường thẳng \( BC \) đi qua \( B(3, 0) \): \[ y - 0 = \frac{6 - 0}{2 - 3}(x - 3) \implies y = -6(x - 3) \implies y = -6x + 18 \] 2. Tìm phương trình đường cao hạ từ đỉnh \( A \) đến cạnh \( BC \): - Đường cao này vuông góc với \( BC \), do đó hệ số góc của đường cao này là \( \frac{1}{6} \) (vì tích của các hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc là \(-1\)). - Đường cao này đi qua \( A(-3, 0) \): \[ y - 0 = \frac{1}{6}(x + 3) \implies y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{2} \] 3. Tìm phương trình đường thẳng \( AC \): - Điểm \( A(-3, 0) \) và \( C(2, 6) \). - Vector \( \overrightarrow{AC} = (5, 6) \). - Phương trình đường thẳng \( AC \) đi qua \( A(-3, 0) \): \[ y - 0 = \frac{6 - 0}{2 + 3}(x + 3) \implies y = \frac{6}{5}(x + 3) \implies y = \frac{6}{5}x + \frac{18}{5} \] 4. Tìm phương trình đường cao hạ từ đỉnh \( B \) đến cạnh \( AC \): - Đường cao này vuông góc với \( AC \), do đó hệ số góc của đường cao này là \( -\frac{5}{6} \). - Đường cao này đi qua \( B(3, 0) \): \[ y - 0 = -\frac{5}{6}(x - 3) \implies y = -\frac{5}{6}x + \frac{5}{2} \] 5. Tìm giao điểm của hai đường cao: - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{2} \\ y = -\frac{5}{6}x + \frac{5}{2} \end{cases} \] - Đặt hai phương trình bằng nhau: \[ \frac{1}{6}x + \frac{1}{2} = -\frac{5}{6}x + \frac{5}{2} \] - Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ x + 3 = -5x + 15 \] - Giải phương trình: \[ 6x = 12 \implies x = 2 \] - Thay \( x = 2 \) vào một trong hai phương trình để tìm \( y \): \[ y = \frac{1}{6}(2) + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \] - Vậy tọa độ trực tâm \( H \) là \( (2, \frac{5}{6}) \). 6. Tính \( a + 6b \): - \( a = 2 \) - \( b = \frac{5}{6} \) - \( a + 6b = 2 + 6 \left(\frac{5}{6}\right) = 2 + 5 = 7 \) Đáp số: \( a + 6b = 7 \). Câu 3. Để tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AC}\): - Tọa độ của điểm \(A\) là \((3, 5)\). - Tọa độ của điểm \(C\) là \((2, 0)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AC}\) là: \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 3, 0 - 5) = (-1, -5) \] 2. Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{BD}\): - Tọa độ của điểm \(B\) là \((-1, -2)\). - Gọi tọa độ của điểm \(D\) là \((x, y)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{BD}\) là: \[ \overrightarrow{BD} = (x - (-1), y - (-2)) = (x + 1, y + 2) \] 3. Đặt \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}\): - Ta có: \[ (-1, -5) = (x + 1, y + 2) \] Từ đây, ta suy ra hai phương trình: \[ x + 1 = -1 \quad \text{và} \quad y + 2 = -5 \] 4. Giải các phương trình: - Giải phương trình \(x + 1 = -1\): \[ x = -1 - 1 = -2 \] - Giải phương trình \(y + 2 = -5\): \[ y = -5 - 2 = -7 \] Vậy tọa độ của điểm \(D\) là \((-2, -7)\). Đáp số: \((-2, -7)\) Câu 4: Để tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{27 + 26 + 28 + 32 + 34 + 35 + 30 + 28}{8} = \frac{230}{8} = 28.75 \] 2. Tính phương sai của mẫu số liệu: Phương sai \(s^2\) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1} \] Trong đó, \(x_i\) là các giá trị nhiệt độ, \(\bar{x}\) là trung bình cộng, và \(n\) là số lượng giá trị. Ta tính từng giá trị \((x_i - \bar{x})^2\): \[ (27 - 28.75)^2 = (-1.75)^2 = 3.0625 \] \[ (26 - 28.75)^2 = (-2.75)^2 = 7.5625 \] \[ (28 - 28.75)^2 = (-0.75)^2 = 0.5625 \] \[ (32 - 28.75)^2 = 3.25^2 = 10.5625 \] \[ (34 - 28.75)^2 = 5.25^2 = 27.5625 \] \[ (35 - 28.75)^2 = 6.25^2 = 39.0625 \] \[ (30 - 28.75)^2 = 1.25^2 = 1.5625 \] \[ (28 - 28.75)^2 = (-0.75)^2 = 0.5625 \] Tổng các giá trị này là: \[ 3.0625 + 7.5625 + 0.5625 + 10.5625 + 27.5625 + 39.0625 + 1.5625 + 0.5625 = 89.5 \] Phương sai \(s^2\) là: \[ s^2 = \frac{89.5}{8-1} = \frac{89.5}{7} \approx 12.7857 \] 3. Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: Độ lệch chuẩn \(s\) là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{12.7857} \approx 3.575 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là khoảng 3.575.