Giúp mình vs ah Bài 4: (2,5 điểm),1) Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ $HN\bot AC,~HM\bot AB.$,a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.,b) Lấy D sao cho M là trung điểm của DH, lấy E sao cho N là trung điểm của EH.,Chứng minh tứ giác AMNE là hình bình hành.,c) Chứng minh: $BC^2=BD^2+CE^2+2BH.HC.$

Question

Tứ Uyểnhg1 · Accepted Answer

a,Xét tứ giác AMHN có
$\displaystyle \begin{cases}
\widehat{MAN} =\widehat{BAC} =90^{0} & \
\widehat{ANH} =90^{0} & \
\widehat{AMH} =90^{0} &
\end{cases}$
Suy ra tứ giác AMHN là hình chữ nhật
b,Vì AMHN là hình chữ nhật nên ta có
$\displaystyle \begin{cases}
NH//AM & \
NH=AM &
\end{cases}$
Lại có EN=NH và $\displaystyle N\in EH$ (vì N là trung điểm EH)
Suy ra
$\displaystyle \begin{cases}
EN//AM & \
EN=AM &
\end{cases}$
Khi đó tứ giác ENMA là hình bình hành
c,Có AB vuông góc với HD tại M và M cũng là trung điểm HD
Suy ra AB là trung trực của HD
Suy ra B thuộc trung trực HD
Suy ra $\displaystyle BH=BD$
Có AC vuông góc với EH tại N và N là trung điểm EH
Suy ra AC là trung trực của EH
Suy ra C thuộc trung trực EH
Suy ra $\displaystyle CE=CH$
Có $\displaystyle BC^{2} =( CH+HB)^{2} =CH^{2} +BH^{2} +2BH.CH=CE^{2} +BD^{2} +2BH.CH$ (điều phải chứng minh)

Timi · Answer

Bài 4:
a) Ta có $HN\bot AC,~HM\bot AB$ nên $\widehat{HNA}=\widehat{HMA}=90^\circ$. 
Mặt khác, $\widehat{BAC}=90^\circ$ nên $\widehat{MAN}=90^\circ$. 
Do đó, tứ giác AMHN có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
b) Vì M là trung điểm của DH nên $AM=DH$. 
Tương tự, $AN=EH$. 
Mặt khác, tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên $AM=HN$ và $AN=HM$. 
Do đó, $DH=HN$ và $EH=HM$. 
Vậy tứ giác AMNE có $AM=NE$ và $AN=ME$ nên là hình bình hành.
c) Ta có $BC^2=AB^2+AC^2$ (định lý Pythagoras). 
Mặt khác, $AB^2=BH^2+AH^2$ và $AC^2=HC^2+AH^2$ (định lý Pythagoras). 
Do đó, $BC^2=BH^2+AH^2+HC^2+AH^2$. 
Ta có $BD^2=BM^2+DM^2=BH^2+HM^2$ (định lý Pythagoras). 
Tương tự, $CE^2=CN^2+EN^2=HC^2+HN^2$. 
Do đó, $BD^2+CE^2=BH^2+HC^2+HM^2+HN^2$. 
Vì tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên $HM=AN$ và $HN=AM$. 
Do đó, $BD^2+CE^2=BH^2+HC^2+AN^2+AM^2$. 
Ta có $2BH.HC=2(BH.HC)$ (tính chất phân phối). 
Do đó, $BC^2=BD^2+CE^2+2BH.HC$.