Giúp mình với!

Câu 35. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình vuông ABCD, các cạnh AB, BC, CD và DA đều có độ dài bằng nhau và bằng $\sqrt{5}$. Ta cũng biết rằng các góc ở mỗi đỉnh của hình vuông đều là 90 độ. Ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] trong đó $|\overrightarrow{u}|$ và $|\overrightarrow{v}|$ là độ dài của các vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, và $\theta$ là góc giữa chúng. Trong trường hợp này, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}$ là hai vectơ vuông góc với nhau (góc giữa chúng là 90 độ). Do đó, $\cos(90^\circ) = 0$. Vậy tích vô hướng của $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}$ là: \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{DA}| \cdot \cos(90^\circ) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot 0 = 5 \cdot 0 = 0 \] Vậy đáp án đúng là: D. 0. Câu 36. Để phương trình $-2x^2 + (m+2)x - m - 4 = 0$ có nghiệm, ta cần tính delta ($\Delta$) và đảm bảo $\Delta \geq 0$. Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm khi $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$. Trong phương trình $-2x^2 + (m+2)x - m - 4 = 0$, ta có: - $a = -2$ - $b = m + 2$ - $c = -m - 4$ Tính $\Delta$: \begin{align} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= (m + 2)^2 - 4(-2)(-m - 4) \\ &= (m + 2)^2 - 8(m + 4) \\ &= m^2 + 4m + 4 - 8m - 32 \\ &= m^2 - 4m - 28 \end{align} Để phương trình có nghiệm, ta cần $\Delta \geq 0$: \[ m^2 - 4m - 28 \geq 0 \] Ta giải bất phương trình này bằng cách tìm nghiệm của phương trình $m^2 - 4m - 28 = 0$. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -4$, $c = -28$: \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 112}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{4 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 4\sqrt{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là $m_1 = 2 + 4\sqrt{2}$ và $m_2 = 2 - 4\sqrt{2}$. Bất phương trình $m^2 - 4m - 28 \geq 0$ sẽ đúng khi $m$ nằm ngoài khoảng giữa hai nghiệm này: \[ m \leq 2 - 4\sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad m \geq 2 + 4\sqrt{2} \] Vậy, để phương trình $-2x^2 + (m+2)x - m - 4 = 0$ có nghiệm, giá trị của $m$ phải thỏa mãn: \[ m \leq 2 - 4\sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad m \geq 2 + 4\sqrt{2} \] Câu 37. a) Ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AD} = \frac{\overrightarrow{AB}}{3} + \frac{\overrightarrow{AC}}{4} \] Tính tổng các hệ số: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \] Nhân cả hai vế với $\frac{12}{7}$: \[ \overrightarrow{AD} = \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \] b) Ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} \] Vì MN vuông góc với AD nên: \[ (\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}) \cdot \overrightarrow{AD} = 0 \] Thay $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{AD}$ vào: \[ \left( \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM} \right) \cdot \left( \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \right) = 0 \] Phân tích tích vô hướng: \[ \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} \cdot \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} \cdot \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM} \cdot \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AM} \cdot \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} = 0 \] Vì $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$. Do đó: \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{7} |\overrightarrow{AC}|^2 - \overrightarrow{AM} \cdot \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AM} \cdot \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} = 0 \] Biến đổi: \[ \frac{9}{14} |\overrightarrow{AC}|^2 = \overrightarrow{AM} \cdot \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} \cdot \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \] \[ \frac{9}{14} \cdot 16 = \overrightarrow{AM} \cdot \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} \cdot \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \] \[ \frac{144}{14} = \overrightarrow{AM} \cdot \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} \cdot \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \] \[ \frac{72}{7} = \overrightarrow{AM} \cdot \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} \cdot \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \] \[ \frac{72}{7} = \overrightarrow{AM} \cdot \left( \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \right) \] \[ \frac{72}{7} = \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{72}{7} \cdot \frac{1}{|\overrightarrow{AD}|^2} \overrightarrow{AD} \] \[ |\overrightarrow{AD}|^2 = \left( \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \right)^2 = \left( \frac{4}{7} \right)^2 |\overrightarrow{AB}|^2 + \left( \frac{3}{7} \right)^2 |\overrightarrow{AC}|^2 = \frac{16}{49} \cdot 9 + \frac{9}{49} \cdot 16 = \frac{144}{49} \] \[ |\overrightarrow{AD}| = \frac{12}{7} \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{72}{7} \cdot \frac{7}{144} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} \right) = \frac{2}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{14}\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AC} + \frac{2}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{14}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{7}\overrightarrow{AB} - \frac{11}{14}\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{CM} = \frac{2}{7}\overrightarrow{AB} - \frac{11}{14}\overrightarrow{AC} \] Câu 38. Để tính diện tích phần đất trồng hoa trong tam giác đều AMN, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm M và N trên cạnh BC và CD sao cho AMN là tam giác đều. 2. Tính diện tích tam giác đều AMN. Trước tiên, vì AMN là tam giác đều nên các cạnh AM, MN và NA đều bằng nhau. Ta gọi độ dài mỗi cạnh của tam giác đều này là \( x \). Do ABCD là hình vuông cạnh 8 mét, ta có: - \( AB = BC = CD = DA = 8 \) mét. Vì M nằm trên BC và N nằm trên CD, ta có thể thấy rằng tam giác AMN chia hình vuông thành ba phần: hai tam giác cân và một tam giác đều. Ta sẽ tính diện tích tam giác đều AMN bằng công thức diện tích tam giác đều: \[ S_{AMN} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \] Để tìm \( x \), ta cần sử dụng tính chất của tam giác đều và hình vuông. Vì AMN là tam giác đều, ta có thể thấy rằng tam giác AMB và tam giác AND cũng là tam giác đều. Do đó, ta có: \[ BM = CN = 8 - x \] Vì AMN là tam giác đều, ta có: \[ AM = AN = x \] Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AMB: \[ AM^2 = AB^2 + BM^2 \] \[ x^2 = 8^2 + (8 - x)^2 \] \[ x^2 = 64 + (64 - 16x + x^2) \] \[ x^2 = 64 + 64 - 16x + x^2 \] \[ 0 = 128 - 16x \] \[ 16x = 128 \] \[ x = 8 \] Như vậy, độ dài mỗi cạnh của tam giác đều AMN là 8 mét. Diện tích tam giác đều AMN là: \[ S_{AMN} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 \] \[ S_{AMN} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 \] \[ S_{AMN} = 16\sqrt{3} \] Lấy giá trị gần đúng của \( \sqrt{3} \approx 1.732 \): \[ S_{AMN} \approx 16 \times 1.732 \] \[ S_{AMN} \approx 27.712 \] Vậy diện tích phần đất trồng hoa là khoảng 27.71 mét vuông (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số: Diện tích phần đất trồng hoa là 27.71 mét vuông. Câu 39. Để bất phương trình $(m-2)x^2 - 2(m-2)x + 6 < 0$ vô nghiệm, ta cần xem xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: $m = 2$ Thay $m = 2$ vào bất phương trình: \[ (2-2)x^2 - 2(2-2)x + 6 < 0 \implies 6 < 0 \] Điều này là sai, do đó $m = 2$ không thỏa mãn. 2. Trường hợp 2: $m \neq 2$ Bất phương trình trở thành: \[ (m-2)x^2 - 2(m-2)x + 6 < 0 \] Để bất phương trình này vô nghiệm, ta cần: - Hệ số của $x^2$ phải dương: $m - 2 > 0 \implies m > 2$ - Đặt $a = m - 2$, $b = -2(m-2)$, $c = 6$. Ta cần $\Delta' \leq 0$: \[ \Delta' = b^2 - 4ac = (-2(m-2))^2 - 4(m-2) \cdot 6 = 4(m-2)^2 - 24(m-2) \] \[ \Delta' = 4[(m-2)^2 - 6(m-2)] = 4[m^2 - 4m + 4 - 6m + 12] = 4[m^2 - 10m + 16] \] \[ \Delta' = 4(m^2 - 10m + 16) \] Để $\Delta' \leq 0$, ta cần: \[ m^2 - 10m + 16 \leq 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 - 10m + 16 = 0 \implies (m-2)(m-8) = 0 \implies m = 2 \text{ hoặc } m = 8 \] Do đó, $m^2 - 10m + 16 \leq 0$ khi $2 \leq m \leq 8$. Kết hợp với điều kiện $m > 2$, ta có: \[ 2 < m \leq 8 \] Tóm lại, các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m = 3, 4, 5, 6, 7, 8$. Tổng tất cả các phần tử của tập hợp $S$ là: \[ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33 \] Đáp số: 33