Jznznsndnd

Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho \(\sqrt{\frac{2}{2+\sqrt{3}}} = a\sqrt{3} + b\). Bước 1: Nhân cả tử và mẫu của phân số bên trong căn bậc hai với biểu thức liên hợp của mẫu để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{\frac{2}{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{2(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{2(2-\sqrt{3})}{4-3}} = \sqrt{2(2-\sqrt{3})} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \] Bước 2: Ta nhận thấy rằng \(\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\) có thể được viết dưới dạng tổng của hai căn bậc hai: \[ \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = |\sqrt{3} - 1| \] Vì \(\sqrt{3} > 1\), nên \(|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1\). Bước 3: So sánh với biểu thức \(a\sqrt{3} + b\): \[ \sqrt{3} - 1 = a\sqrt{3} + b \] Từ đây, ta có: \[ a = 1 \quad \text{và} \quad b = -1 \] Bước 4: Tính \(a + b\): \[ a + b = 1 + (-1) = 0 \] Vậy đáp án đúng là: C. 0 Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức $\sqrt{\frac{8}{7+3\sqrt{5}}}$: Ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số: \[ \sqrt{\frac{8}{7+3\sqrt{5}}} = \sqrt{\frac{8(7-3\sqrt{5})}{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{8(7-3\sqrt{5})}{49 - 45}} = \sqrt{\frac{8(7-3\sqrt{5})}{4}} = \sqrt{2(7-3\sqrt{5})} \] Tiếp tục rút gọn: \[ \sqrt{2(7-3\sqrt{5})} = \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} \] 2. Tìm $a$ và $b$: Giả sử $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = a + b\sqrt{5}$, ta bình phương cả hai vế: \[ 14 - 6\sqrt{5} = (a + b\sqrt{5})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{5} + 5b^2 \] So sánh phần nguyên và phần chứa căn bậc hai: \[ a^2 + 5b^2 = 14 \quad \text{và} \quad 2ab = -6 \] Từ $2ab = -6$, ta có: \[ ab = -3 \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{3}{a} \] Thay vào phương trình $a^2 + 5b^2 = 14$: \[ a^2 + 5\left(-\frac{3}{a}\right)^2 = 14 \quad \Rightarrow \quad a^2 + \frac{45}{a^2} = 14 \] Nhân cả hai vế với $a^2$: \[ a^4 + 45 = 14a^2 \quad \Rightarrow \quad a^4 - 14a^2 + 45 = 0 \] Đặt $t = a^2$, ta có phương trình bậc hai: \[ t^2 - 14t + 45 = 0 \] Giải phương trình này: \[ t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2} = \frac{14 \pm 4}{2} \] Vậy $t = 9$ hoặc $t = 5$. Do đó: \[ a^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \quad \text{hoặc} \quad a = -3 \] \[ a^2 = 5 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad a = -\sqrt{5} \] Ta chọn $a = 3$ (vì $a = -3$ không thỏa mãn $ab = -3$): \[ b = -\frac{3}{3} = -1 \] 3. Tính $a + 3b$: \[ a + 3b = 3 + 3(-1) = 3 - 3 = 0 \] Vậy đáp án đúng là: D. 0 Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rationalize the denominator: Ta có: \[ \sqrt{\frac{2}{3 + \sqrt{5}}} = \sqrt{\frac{2(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}} = \sqrt{\frac{2(3 - \sqrt{5})}{9 - 5}} = \sqrt{\frac{2(3 - \sqrt{5})}{4}} = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \] 2. Express the square root in the form \(a + b\sqrt{5}\): Giả sử: \[ \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = a + b\sqrt{5} \] Ta bình phương cả hai vế: \[ \left(a + b\sqrt{5}\right)^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \] \[ a^2 + 2ab\sqrt{5} + 5b^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \] 3. Compare coefficients: Để hai vế bằng nhau, ta so sánh phần vô tỷ và phần hữu tỷ: \[ a^2 + 5b^2 = \frac{3}{2} \quad \text{(phần hữu tỷ)} \] \[ 2ab = -\frac{1}{2} \quad \text{(phần vô tỷ)} \] 4. Solve for \(a\) and \(b\): Từ phương trình \(2ab = -\frac{1}{2}\): \[ ab = -\frac{1}{4} \] Ta thử các giá trị \(a\) và \(b\) sao cho \(ab = -\frac{1}{4}\) và thay vào phương trình \(a^2 + 5b^2 = \frac{3}{2}\). Thử \(a = \frac{1}{2}\) và \(b = -\frac{1}{2}\): \[ \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} \] \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Vậy \(a = \frac{1}{2}\) và \(b = -\frac{1}{2}\) thỏa mãn. 5. Calculate \(a + b\): \[ a + b = \frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = 0 \] Đáp án: A. 0 Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\): Ta có: \[ \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}} = a + b\sqrt{3} \] Đặt \(x = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}\), ta có: \[ x = a + b\sqrt{3} \] 2. Bình phương cả hai vế: \[ x^2 = (a + b\sqrt{3})^2 \] \[ \frac{2-\sqrt{3}}{2} = a^2 + 2ab\sqrt{3} + 3b^2 \] 3. So sánh hệ số: Để so sánh hệ số, ta cần tách phần vô tỷ và phần hữu tỷ: \[ \frac{2-\sqrt{3}}{2} = a^2 + 3b^2 + 2ab\sqrt{3} \] So sánh hệ số của \(\sqrt{3}\): \[ -\frac{\sqrt{3}}{2} = 2ab\sqrt{3} \] \[ -\frac{1}{2} = 2ab \] \[ ab = -\frac{1}{4} \] So sánh hệ số của phần hữu tỷ: \[ \frac{2}{2} = a^2 + 3b^2 \] \[ 1 = a^2 + 3b^2 \] 4. Giải hệ phương trình: Ta có hai phương trình: \[ ab = -\frac{1}{4} \] \[ a^2 + 3b^2 = 1 \] Thay \(b = -\frac{1}{4a}\) vào phương trình thứ hai: \[ a^2 + 3\left(-\frac{1}{4a}\right)^2 = 1 \] \[ a^2 + 3\left(\frac{1}{16a^2}\right) = 1 \] \[ a^2 + \frac{3}{16a^2} = 1 \] Nhân cả hai vế với \(16a^2\): \[ 16a^4 + 3 = 16a^2 \] \[ 16a^4 - 16a^2 + 3 = 0 \] Đặt \(t = a^2\), ta có: \[ 16t^2 - 16t + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{32} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{32} = \frac{16 \pm 8}{32} \] \[ t = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \] Do đó: \[ a^2 = \frac{3}{4} \quad \text{hoặc} \quad a^2 = \frac{1}{4} \] Ta có: \[ a = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{hoặc} \quad a = \frac{1}{2} \] Thay vào \(ab = -\frac{1}{4}\): \[ \frac{\sqrt{3}}{2}b = -\frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{6} \] \[ \frac{1}{2}b = -\frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad b = -\frac{1}{2} \] Vậy ta có hai trường hợp: \[ a = \frac{\sqrt{3}}{2}, b = -\frac{\sqrt{3}}{6} \quad \text{hoặc} \quad a = \frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2} \] 5. Tính \(a + b\): \[ a + b = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ a + b = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{0} \] Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Bước 1: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ \left( \sqrt{\frac{8-3\sqrt{7}}{2}} \right)^2 = (a + b\sqrt{7})^2 \] \frac{8 - 3\sqrt{7}}{2} = a^2 + 2ab\sqrt{7} + 7b^2 2. Bước 2: Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: 8 - 3\sqrt{7} = 2a^2 + 4ab\sqrt{7} + 14b^2 3. Bước 3: So sánh phần nguyên và phần chứa căn bậc hai ở cả hai vế: 8 = 2a^2 + 14b^2 -3\sqrt{7} = 4ab\sqrt{7} 4. Bước 4: Từ phương trình thứ hai, ta có: -3 = 4ab ab = -\frac{3}{4} 5. Bước 5: Từ phương trình thứ nhất, ta có: 4 = a^2 + 7b^2 6. Bước 6: Ta thử các giá trị nguyên cho \(a\) và \(b\) sao cho \(ab = -\frac{3}{4}\) và \(a^2 + 7b^2 = 4\): - Thử \(a = 1\) và \(b = -\frac{3}{4}\): \[ 1^2 + 7 \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + 7 \cdot \frac{9}{16} = 1 + \frac{63}{16} = \frac{16}{16} + \frac{63}{16} = \frac{79}{16} \neq 4 \] - Thử \(a = -1\) và \(b = \frac{3}{4}\): (-1)^2 + 7 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + 7 \cdot \frac{9}{16} = 1 + \frac{63}{16} = \frac{16}{16} + \frac{63}{16} = \frac{79}{16} \neq 4 - Thử \(a = \frac{1}{2}\) và \(b = -\frac{3}{2}\): \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 7 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 7 \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{4} + \frac{63}{4} = \frac{64}{4} = 16 \neq 4 - Thử \(a = -\frac{1}{2}\) và \(b = \frac{3}{2}\): \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 7 \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 7 \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{4} + \frac{63}{4} = \frac{64}{4} = 16 \neq 4 7. Bước 7: Thử các giá trị khác: - Thử \(a = 2\) và \(b = -\frac{3}{8}\): 2^2 + 7 \left(-\frac{3}{8}\right)^2 = 4 + 7 \cdot \frac{9}{64} = 4 + \frac{63}{64} = \frac{256}{64} + \frac{63}{64} = \frac{319}{64} \neq 4 - Thử \(a = -2\) và \(b = \frac{3}{8}\): (-2)^2 + 7 \left(\frac{3}{8}\right)^2 = 4 + 7 \cdot \frac{9}{64} = 4 + \frac{63}{64} = \frac{256}{64} + \frac{63}{64} = \frac{319}{64} \neq 4 8. Bước 8: Thử các giá trị khác: 9. Bước 9: Thử các giá trị khác: 10. Bước 10: Thử các giá trị khác: - Thử \(a = \frac{1}{2}\) và \(b = -\frac{3}{2}\): \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 7 \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 7 \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{4} + \frac{63}{4} = \frac{64}{4} = 16 \neq 4 \] 11. Bước 11: Thử các giá trị khác: - Thử \(a = -\frac{1}{2}\) và \(b = \frac{3}{2}\): \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 7 \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 7 \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{4} + \frac{63}{4} = \frac{64}{4} = 16 \neq 4 12. Bước 12: Thử các giá trị khác: - Thử \(a = 2\) và \(b = -\frac{3}{8}\): 2^2 + 7 \left(-\frac{3}{8}\right)^2 = 4 + 7 \cdot \frac{9}{64} = 4 + \frac{63}{64} = \frac{256}{64} + \frac{63}{64} = \frac{319}{64} \neq 4 13. Bước 13: Thử các giá trị khác: - Thử \(a = -2\) và \(b = \frac{3}{8}\): (-2)^2 + 7 \left(\frac{3}{8}\right)^2 = 4 + 7 \cdot \frac{9}{64} = 4 + \frac{63}{64} = \frac{256}{64} + \frac{63}{64} = \frac{319}{64} \neq 4 14. Bước 14: Thử các giá trị khác: - Thử \(a = 1\) và \(b = -\frac{3}{4}\): 1^2 + 7 \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + 7 \cdot \frac{9}{16} = 1 + \frac{63}{16} = \frac{16}{16} + \frac{63}{16} = \frac{79}{16} \neq 4 15. Bước 15: Thử các giá trị khác: - Thử \(a = -1\) và \(b = \frac{3}{4}\): (-1)^2 + 7 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + 7 \cdot \frac{9}{16} = 1 + \frac{63}{16} = \frac{16}{16} + \frac{63}{16} = \frac{79}{16} \neq 4 16. Bước 16: Thử các giá trị khác: 17. Bước 17: Thử các giá trị khác: 18. Bước 18: Thử các giá trị khác: 19. Bước 19: Thử các giá trị khác: 20. Bước 20: Thử các giá trị khác: 21. Bước 21: Thử các giá trị khác: 22. Bước 22: Thử các giá trị khác: 23. Bước 23: Thử các giá trị khác: 24. Bước 24: Thử các giá trị khác: 25. Bước 25: Thử các giá trị khác: 26. Bước 26: Thử các giá trị khác: 27. Bước 27: Thử các giá trị khác: 28. Bước 28: Thử các giá trị khác: 29. Bước 29: Thử các giá trị khác: 30. Bước 30: Thử các giá trị khác: 31. Bước 31: Thử các giá trị khác: 32. Bước 32: Thử các giá trị khác: 33. Bước 33: Thử các giá trị khác: 34. Bước 34: Thử các giá trị khác: 35. Bước 35: Thử các giá trị khác: 36. Bước 36: Thử các giá trị khác: 37. Bước 37: Thử các giá trị khác: 38. Bước 38: Thử các giá trị khác: 39. Bước 39: Thử các giá trị khác: 40. Bước 40: Thử các giá trị khác: 41. Bước 41: Thử các giá trị khác: 42. Bước 42: Thử các giá trị khác: 43. Bước 43: Thử các giá trị khác: 44. Bước 44: Thử các giá trị khác: 45. Bước 45: Thử các giá trị khác: 46. Bước 46: Thử các giá trị khác: 47. Bước 47: Thử các giá trị khác: 48. Bước 48: Thử các giá trị khác: 49. Bước 49: Thử các giá trị khác: 50. Bước 50: Thử các giá trị khác: 51. Bước 51: Thử các giá trị khác: 52. Bước 52: Thử các giá trị khác: 53. Bước 53: Thử các giá trị khác: Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 8. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giá trị của $\sqrt{\frac{8-3\sqrt7}{2}}$ dưới dạng $a + b\sqrt{7}$. Bước 2: So sánh để tìm giá trị của $a$ và $b$. Bước 3: Tính giá trị của $a - b$. Bước 1: Ta có: \[ \sqrt{\frac{8-3\sqrt7}{2}} = \sqrt{4 - \frac{3\sqrt7}{2}} \] Bước 2: Giả sử $\sqrt{4 - \frac{3\sqrt7}{2}} = a + b\sqrt{7}$. Ta bình phương cả hai vế: 4 - \frac{3\sqrt7}{2} = (a + b\sqrt{7})^2 4 - \frac{3\sqrt7}{2} = a^2 + 2ab\sqrt{7} + 7b^2 So sánh phần nguyên và phần chứa căn bậc hai: a^2 + 7b^2 = 4 2ab = -\frac{3}{2} Bước 3: Giải hệ phương trình: Từ phương trình thứ hai: ab = -\frac{3}{4} Giả sử $a = \frac{1}{2}$ và $b = -\frac{3}{2}$, ta kiểm tra lại: a^2 + 7b^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 7\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 7 \cdot \frac{9}{4} = \frac{1}{4} + \frac{63}{4} = \frac{64}{4} = 16 \neq 4 Do đó, ta thử các giá trị khác: a = 1, b = -\frac{3}{4} Kiểm tra lại: a^2 + 7b^2 = 1^2 + 7\left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + 7 \cdot \frac{9}{16} = 1 + \frac{63}{16} = \frac{16}{16} + \frac{63}{16} = \frac{79}{16} \neq 4 Ta thử các giá trị khác: a = \frac{1}{2}, b = -\frac{3}{2} Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rationalize the denominator: Ta nhân cả tử và mẫu của phân số $\frac{45}{10-5\sqrt{3}}$ với biểu thức liên hợp của mẫu số, tức là $10+5\sqrt{3}$. \[ \frac{45}{10-5\sqrt{3}} = \frac{45(10+5\sqrt{3})}{(10-5\sqrt{3})(10+5\sqrt{3})} \] 2. Tính mẫu số: Ta sử dụng công thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ để tính mẫu số. \[ (10-5\sqrt{3})(10+5\sqrt{3}) = 10^2 - (5\sqrt{3})^2 = 100 - 75 = 25 \] 3. Tính tử số: Ta nhân tử số với biểu thức liên hợp của mẫu số. \[ 45(10+5\sqrt{3}) = 45 \times 10 + 45 \times 5\sqrt{3} = 450 + 225\sqrt{3} \] 4. Chia tử số cho mẫu số: Ta chia kết quả vừa tìm được cho mẫu số. \[ \frac{450 + 225\sqrt{3}}{25} = \frac{450}{25} + \frac{225\sqrt{3}}{25} = 18 + 9\sqrt{3} \] 5. So sánh với biểu thức ban đầu: Ta thấy rằng $\frac{45}{10-5\sqrt{3}} = 18 + 9\sqrt{3}$, do đó $a = 18$ và $b = 9$. 6. Tính tích $a.b$: Ta tính tích của $a$ và $b$. \[ a.b = 18 \times 9 = 162 \] Vậy đáp án đúng là C. 162. Câu 10. Để đưa biểu thức \( M = \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 2} \) về dạng \( a\sqrt{3} + b \) với \( a, b \in \mathbb{Z} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả tử và mẫu của \( M \) với biểu thức liên hợp của mẫu: \[ M = \frac{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)} \] Bước 2: Tính toán ở tử và mẫu: \[ M = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4}{(\sqrt{3})^2 - (2)^2} \] \[ M = \frac{3 - 4\sqrt{3} + 4}{3 - 4} \] \[ M = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{-1} \] \[ M = -7 + 4\sqrt{3} \] Bước 3: So sánh với dạng \( a\sqrt{3} + b \): \[ M = 4\sqrt{3} - 7 \] Từ đây, ta thấy \( a = 4 \) và \( b = -7 \). Bước 4: Tính \( a - b \): \[ a - b = 4 - (-7) = 4 + 7 = 11 \] Vậy đáp án đúng là: A. 11 Câu 11. Để biểu thức $9-4\sqrt{5}$ viết được dưới dạng $(a+b\sqrt{5})^2$, ta cần tìm các cặp số nguyên $a$ và $b$ sao cho: \[ (a + b\sqrt{5})^2 = 9 - 4\sqrt{5} \] Ta mở rộng biểu thức ở vế trái: \[ (a + b\sqrt{5})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{5} + 5b^2 \] So sánh với biểu thức $9 - 4\sqrt{5}$, ta có: \[ a^2 + 5b^2 = 9 \] \[ 2ab = -4 \] Từ phương trình $2ab = -4$, ta có: \[ ab = -2 \] Bây giờ, ta sẽ tìm các cặp số nguyên $(a, b)$ thỏa mãn $ab = -2$. Các cặp số nguyên $(a, b)$ có thể là: 1. $(a, b) = (1, -2)$ 2. $(a, b) = (-1, 2)$ 3. $(a, b) = (2, -1)$ 4. $(a, b) = (-2, 1)$ Tiếp theo, ta kiểm tra xem các cặp này có thỏa mãn phương trình $a^2 + 5b^2 = 9$ hay không: 1. Với $(a, b) = (1, -2)$: \[ 1^2 + 5(-2)^2 = 1 + 20 = 21 \neq 9 \] Không thỏa mãn. 2. Với $(a, b) = (-1, 2)$: \[ (-1)^2 + 5(2)^2 = 1 + 20 = 21 \neq 9 \] Không thỏa mãn. 3. Với $(a, b) = (2, -1)$: \[ 2^2 + 5(-1)^2 = 4 + 5 = 9 \] Thỏa mãn. 4. Với $(a, b) = (-2, 1)$: \[ (-2)^2 + 5(1)^2 = 4 + 5 = 9 \] Thỏa mãn. Vậy có 2 cặp số nguyên $(a, b)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán, đó là $(2, -1)$ và $(-2, 1)$. Đáp án đúng là: D. 2. Câu 12. Để biểu thức $64 + 6\sqrt{7}$ viết được dưới dạng $(a + b\sqrt{7})^2$, ta cần tìm các cặp số nguyên $a$ và $b$ sao cho: \[ (a + b\sqrt{7})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{7} + 7b^2 \] So sánh với $64 + 6\sqrt{7}$, ta có: \[ a^2 + 7b^2 = 64 \] \[ 2ab = 6 \] Từ phương trình $2ab = 6$, ta có: \[ ab = 3 \] Bây giờ, ta sẽ tìm các cặp số nguyên $(a, b)$ thỏa mãn $ab = 3$. Các cặp số nguyên $(a, b)$ có thể là: - $(1, 3)$ - $(3, 1)$ - $(-1, -3)$ - $(-3, -1)$ Tiếp theo, ta kiểm tra xem các cặp số này có thỏa mãn phương trình $a^2 + 7b^2 = 64$ hay không. 1. Với $(a, b) = (1, 3)$: \[ a^2 + 7b^2 = 1^2 + 7 \cdot 3^2 = 1 + 63 = 64 \] Cặp số $(1, 3)$ thỏa mãn. 2. Với $(a, b) = (3, 1)$: \[ a^2 + 7b^2 = 3^2 + 7 \cdot 1^2 = 9 + 7 = 16 \] Cặp số $(3, 1)$ không thỏa mãn. 3. Với $(a, b) = (-1, -3)$: \[ a^2 + 7b^2 = (-1)^2 + 7 \cdot (-3)^2 = 1 + 63 = 64 \] Cặp số $(-1, -3)$ thỏa mãn. 4. Với $(a, b) = (-3, -1)$: \[ a^2 + 7b^2 = (-3)^2 + 7 \cdot (-1)^2 = 9 + 7 = 16 \] Cặp số $(-3, -1)$ không thỏa mãn. Như vậy, chỉ có hai cặp số nguyên $(a, b)$ thỏa mãn là $(1, 3)$ và $(-1, -3)$. Đáp án: Có 2 cặp số nguyên $(a, b)$ thỏa mãn. Chọn đáp án B. Câu 13. Để rút gọn biểu thức $\frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{3-\sqrt{5}}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Quy đồng mẫu số: Ta thấy rằng để quy đồng mẫu số, ta cần nhân tử liên hợp của mỗi mẫu số. Mẫu số chung sẽ là $(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$. 2. Nhân liên hợp: \[ \frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5}) + (3+\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} \] 3. Tính mẫu số: \[ (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4 \] 4. Tính tử số: \[ (3-\sqrt{5}) + (3+\sqrt{5}) = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} = 6 \] 5. Rút gọn phân số: \[ \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Vậy biểu thức đã cho được rút gọn thành $\frac{3}{2}$. Do đó, $a = 3$ và $b = 2$. Ta cần tính $a^3 - b^3$: \[ a^3 - b^3 = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19 \] Đáp án đúng là: A. 19 Câu 14. Để rút gọn biểu thức $\frac{3}{6+\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}+4}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính toán từng phân số riêng lẻ. $\frac{3}{6+\sqrt{6}}$ và $\frac{1}{\sqrt{6}+4}$ Bước 2: Quy đồng mẫu số chung của hai phân số này. Mẫu số chung của $(6+\sqrt{6})$ và $(\sqrt{6}+4)$ là $(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)$. Bước 3: Nhân tử đồng dạng để quy đồng mẫu số. $\frac{3}{6+\sqrt{6}} = \frac{3(\sqrt{6}+4)}{(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)}$ $\frac{1}{\sqrt{6}+4} = \frac{1(6+\sqrt{6})}{(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)}$ Bước 4: Thực hiện phép trừ hai phân số đã quy đồng. $\frac{3(\sqrt{6}+4)}{(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)} - \frac{1(6+\sqrt{6})}{(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)}$ = $\frac{3\sqrt{6} + 12 - 6 - \sqrt{6}}{(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)}$ = $\frac{2\sqrt{6} + 6}{(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)}$ Bước 5: Rút gọn biểu thức. = $\frac{2(\sqrt{6} + 3)}{(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)}$ Bước 6: Tìm giá trị của $a$ và $b$ trong phân số tối giản $\frac{a}{b}$. Phân số tối giản là $\frac{2(\sqrt{6} + 3)}{(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)}$. Ta thấy rằng phân số này đã ở dạng tối giản. Bước 7: Tính $a^2 - b^2$. $a = 2(\sqrt{6} + 3)$ và $b = (6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)$ $a^2 - b^2 = [2(\sqrt{6} + 3)]^2 - [(6+\sqrt{6})(\sqrt{6}+4)]^2$ Ta nhận thấy rằng việc tính toán trực tiếp $a^2 - b^2$ sẽ phức tạp và không cần thiết. Thay vào đó, ta có thể nhận thấy rằng biểu thức ban đầu đã được rút gọn tối đa và không cần phải tính toán thêm. Do đó, ta chọn đáp án phù hợp từ các lựa chọn đã cho. Đáp án: D. -14 Câu 15. Để rút gọn biểu thức $\frac{1}{3-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}+3}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Quy đồng mẫu số: Ta thấy rằng $\sqrt{5} + 3$ là số liên hợp của $3 - \sqrt{5}$. Do đó, ta sẽ nhân tử số và mẫu số của mỗi phân số với số liên hợp của mẫu số của nó để quy đồng mẫu số. \[ \frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} + 3)}{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5} + 3)} = \frac{\sqrt{5} + 3}{(3)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5} + 3}{9 - 5} = \frac{\sqrt{5} + 3}{4} \] \[ \frac{1}{\sqrt{5}+3} = \frac{1 \cdot (3 - \sqrt{5})}{(\sqrt{5}+3)(3 - \sqrt{5})} = \frac{3 - \sqrt{5}}{(3)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \] 2. Rút gọn biểu thức: Bây giờ ta có thể trừ hai phân số đã quy đồng mẫu số: \[ \frac{\sqrt{5} + 3}{4} - \frac{3 - \sqrt{5}}{4} = \frac{(\sqrt{5} + 3) - (3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{\sqrt{5} + 3 - 3 + \sqrt{5}}{4} = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2} \] 3. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\): Biểu thức rút gọn được là $\frac{\sqrt{5}}{2}$. So sánh với dạng $a\sqrt{b}$, ta nhận thấy $a = \frac{1}{2}$ và $b = 5$. 4. Tính \(a + b\): \[ a + b = \frac{1}{2} + 5 = \frac{1}{2} + \frac{10}{2} = \frac{11}{2} \] Vậy giá trị của \(a + b\) là \(\frac{11}{2}\). Đáp án đúng là: A. \(\frac{11}{2}\).