giải hộ với nhé

Câu 1. Để tính độ dài gần đúng của cây cầu, ta cần biết rằng sai số tương đối không vượt quá 1,5%. Điều này có nghĩa là sai số tuyệt đối so với độ dài thực của cây cầu không vượt quá 1,5% của độ dài thực đó. Ta có công thức tính sai số tương đối: \[ \text{Sai số tương đối} = \frac{\text{Sai số tuyệt đối}}{\text{Giá trị chuẩn}} \] Trong bài toán này, sai số tuyệt đối là 0,75m và sai số tương đối không vượt quá 1,5%, tức là: \[ \frac{0,75}{\text{Giá trị chuẩn}} \leq 0,015 \] Từ đây, ta có thể tìm giá trị chuẩn (độ dài thực của cây cầu): \[ \text{Giá trị chuẩn} \geq \frac{0,75}{0,015} \] \[ \text{Giá trị chuẩn} \geq 50 \] Như vậy, độ dài gần đúng của cây cầu là 500m. Đáp án đúng là: A. 500 m Câu 2. Phương sai của một mẫu số liệu \( x_1, x_2, ..., x_N \) được tính theo công thức sau: \[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 \] Trong đó: - \( N \) là số lượng các giá trị trong mẫu số liệu. - \( x_i \) là giá trị thứ \( i \) trong mẫu số liệu. - \( \overline{x} \) là trung bình cộng của mẫu số liệu. Các lựa chọn đã cho là: A. \( \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2} \) B. \( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 \) C. \( \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})} \) D. \( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \) Trong các lựa chọn này, chỉ có lựa chọn B đúng với công thức phương sai đã nêu ở trên. Do đó, phương sai của mẫu số liệu được tính theo công thức: \[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 \] Đáp án đúng là: B. \( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \overline{x})^2 \) Câu 3. Để minh họa rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B, ta cần vẽ hai hình tròn đại diện cho hai tập hợp này sao cho toàn bộ phần của tập hợp A nằm bên trong tập hợp B. Cụ thể: - Tập hợp A sẽ được vẽ dưới dạng một hình tròn nhỏ hơn. - Tập hợp B sẽ được vẽ dưới dạng một hình tròn lớn hơn, bao quanh hoàn toàn hình tròn đại diện cho tập hợp A. Bằng cách này, ta thấy rằng mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B, từ đó chứng tỏ rằng A là tập hợp con của B. Vậy, hình minh họa đúng sẽ là: - Một hình tròn nhỏ nằm hoàn toàn bên trong một hình tròn lớn hơn. Đáp án: Hình minh họa tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B là hình có một hình tròn nhỏ nằm hoàn toàn bên trong một hình tròn lớn hơn. Câu 4. Để chọn khẳng định đúng về vectơ, chúng ta cần hiểu rõ bản chất của vectơ trong toán học. - Vectơ là một đại lượng có cả chiều dài và hướng. Nó thường được biểu diễn dưới dạng một đoạn thẳng có hai mũi tên ở hai đầu, chỉ ra hướng của vectơ. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. Vectơ là một đoạn thẳng không phân biệt điểm đầu và điểm cuối. - Điều này sai vì vectơ có hướng, tức là nó phân biệt điểm đầu và điểm cuối. B. Vectơ là một đoạn thẳng. - Điều này cũng sai vì vectơ không chỉ là đoạn thẳng mà còn có hướng. C. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. - Điều này đúng vì vectơ được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng. D. Vectơ là một đường thẳng có hướng. - Điều này sai vì vectơ là một đoạn thẳng có hướng, không phải là đường thẳng vô hạn. Vậy khẳng định đúng là: C. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Câu 5. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = y - 8 \) trên miền xác định bởi hệ bất đẳng thức: \[ \left\{ \begin{array}{l} y - 2x \leq 2 \\ 3y - x \geq 4 \\ x + y \leq 5 \end{array} \right. \] Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất đẳng thức này và xác định miền giải. 1. Vẽ các đường thẳng: - \( y - 2x = 2 \) - \( 3y - x = 4 \) - \( x + y = 5 \) 2. Xác định miền giải: - Giải bất đẳng thức \( y - 2x \leq 2 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = 2 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = -1 \) - Giải bất đẳng thức \( 3y - x \geq 4 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{4}{3} \) - Khi \( y = 0 \), \( x = -4 \) - Giải bất đẳng thức \( x + y \leq 5 \): - Khi \( x = 0 \), \( y = 5 \) - Khi \( y = 0 \), \( x = 5 \) 3. Tìm giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của \( y - 2x = 2 \) và \( x + y = 5 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} y = 2 + 2x \\ x + y = 5 \end{array} \right. \] Thay \( y = 2 + 2x \) vào \( x + y = 5 \): \[ x + (2 + 2x) = 5 \implies 3x + 2 = 5 \implies 3x = 3 \implies x = 1 \implies y = 4 \] Vậy giao điểm là \( (1, 4) \). - Giao điểm của \( 3y - x = 4 \) và \( x + y = 5 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} 3y - x = 4 \\ x + y = 5 \end{array} \right. \] Thay \( x = 5 - y \) vào \( 3y - x = 4 \): \[ 3y - (5 - y) = 4 \implies 3y - 5 + y = 4 \implies 4y - 5 = 4 \implies 4y = 9 \implies y = \frac{9}{4} \implies x = \frac{11}{4} \] Vậy giao điểm là \( \left( \frac{11}{4}, \frac{9}{4} \right) \). - Giao điểm của \( y - 2x = 2 \) và \( 3y - x = 4 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} y = 2 + 2x \\ 3y - x = 4 \end{array} \right. \] Thay \( y = 2 + 2x \) vào \( 3y - x = 4 \): \[ 3(2 + 2x) - x = 4 \implies 6 + 6x - x = 4 \implies 5x + 6 = 4 \implies 5x = -2 \implies x = -\frac{2}{5} \implies y = \frac{6}{5} \] Vậy giao điểm là \( \left( -\frac{2}{5}, \frac{6}{5} \right) \). 4. Kiểm tra các điểm trong miền giải: - Điểm \( (0, 2) \): \[ F = 2 - 8 = -6 \] - Điểm \( (1, 4) \): \[ F = 4 - 8 = -4 \] - Điểm \( \left( \frac{11}{4}, \frac{9}{4} \right) \): \[ F = \frac{9}{4} - 8 = \frac{9}{4} - \frac{32}{4} = -\frac{23}{4} \] - Điểm \( \left( -\frac{2}{5}, \frac{6}{5} \right) \): \[ F = \frac{6}{5} - 8 = \frac{6}{5} - \frac{40}{5} = -\frac{34}{5} \] Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất của \( F \) là \( -6 \) tại điểm \( (0, 2) \). Do đó, đáp án đúng là: A. min \( F = -6 \) khi \( x = 0, y = 2 \). Câu 6. Để kiểm tra điểm $O(0;0)$ có thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình hay không, ta thay tọa độ của điểm $O$ vào từng bất phương trình trong hệ và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn hay không. A. $\left\{\begin{array}{l} x + 3y - 6 < 0 \\ 2x + y + 4 \geq 0 \end{array}\right.$ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào: - $0 + 3 \cdot 0 - 6 < 0$ suy ra $-6 < 0$ (đúng) - $2 \cdot 0 + 0 + 4 \geq 0$ suy ra $4 \geq 0$ (đúng) B. $\left\{\begin{array}{l} x + 3y = 0 \\ 2x + y < 4 \end{array}\right.$ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào: - $0 + 3 \cdot 0 = 0$ suy ra $0 = 0$ (đúng) - $2 \cdot 0 + 0 < 4$ suy ra $0 < 4$ (đúng) C. $\left\{\begin{array}{l} x + 3y < 0 \\ 2x + 3y + 4 > 0 \end{array}\right.$ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào: - $0 + 3 \cdot 0 < 0$ suy ra $0 < 0$ (sai) - $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 4 > 0$ suy ra $4 > 0$ (đúng) D. $\left\{\begin{array}{l} x + 3y - 6 < 0 \\ 2x + y + 4 > 0 \end{array}\right.$ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào: - $0 + 3 \cdot 0 - 6 < 0$ suy ra $-6 < 0$ (đúng) - $2 \cdot 0 + 0 + 4 > 0$ suy ra $4 > 0$ (đúng) Như vậy, điểm $O(0;0)$ không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ở đáp án C vì nó không thỏa mãn bất phương trình đầu tiên của hệ. Đáp án đúng là: C. Câu 7. Để xác định giá trị nào của \( x \) làm cho mệnh đề \( P: "x^2 + 4x + 4 = 0" \) trở thành một mệnh đề đúng, chúng ta cần giải phương trình \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). Bước 1: Xác định phương trình đã cho: \[ x^2 + 4x + 4 = 0 \] Bước 2: Nhận thấy rằng phương trình này có thể được viết dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh: \[ x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \] Bước 3: Đặt phương trình bình phương hoàn chỉnh bằng 0: \[ (x + 2)^2 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình này: \[ x + 2 = 0 \] \[ x = -2 \] Vậy, giá trị của \( x \) làm cho mệnh đề \( P \) trở thành một mệnh đề đúng là \( x = -2 \). Do đó, đáp án đúng là: C. \( x = -2 \). Câu 8. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC với cạnh a, M là trung điểm của BC. Ta sẽ tính $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}$. 1. Tìm $\overrightarrow{CA}$: - $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ C đến A. Vì ABC là tam giác đều, nên độ dài $\overrightarrow{CA}$ là a. 2. Tìm $\overrightarrow{MC}$: - M là trung điểm của BC, do đó $\overrightarrow{MC}$ là vectơ từ M đến C. Độ dài $\overrightarrow{MC}$ là $\frac{a}{2}$ vì M chia BC thành hai đoạn bằng nhau. 3. Tính $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}$: - Ta cần tìm vectơ $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}$. Để làm điều này, ta vẽ hình và sử dụng quy tắc hình học của vectơ. 4. Hình học của vectơ: - Xét tam giác ABC đều, M là trung điểm của BC. Ta có thể vẽ thêm đường thẳng từ M đến A để tạo thành tam giác AMB và AMC. - Trong tam giác AMC, $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{MC}$ tạo thành một góc 120° (vì góc ở đỉnh A của tam giác đều là 60° và M nằm giữa B và C). 5. Áp dụng công thức tính độ dài vectơ: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}$ có thể tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = \sqrt{|\overrightarrow{CA}|^2 + |\overrightarrow{MC}|^2 - 2 \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{MC}| \cdot \cos(120^\circ)} \] - Thay các giá trị vào: \[ |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{a}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2}} \] \[ = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}} \] \[ = \sqrt{a^2 + \frac{3a^2}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{4a^2 + 3a^2}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} \] \[ = \frac{a\sqrt{7}}{2} \] Do đó, đáp án đúng là: C. $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = \frac{a\sqrt{7}}{2}$. Câu 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn và biến đổi bất phương trình: \[ -x + 2 + 2(y - 2) > 2(1 - x) \] Ta mở ngoặc và rút gọn: \[ -x + 2 + 2y - 4 > 2 - 2x \] \[ -x + 2y - 2 > 2 - 2x \] \[ -x + 2y - 2 > 2 - 2x \] \[ -x + 2y - 2 > 2 - 2x \] \[ -x + 2y - 2 > 2 - 2x \] \[ -x + 2y - 2 > 2 - 2x \] 2. Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ -x + 2y - 2 - 2 + 2x > 0 \] \[ x + 2y - 4 > 0 \] 3. Kiểm tra các điểm để xác định miền nghiệm: - Với điểm \( N(-4; 5) \): \[ (-4) + 2(5) - 4 = -4 + 10 - 4 = 2 > 0 \] Điểm \( N \) thuộc miền nghiệm. - Với điểm \( P(7; -1) \): \[ 7 + 2(-1) - 4 = 7 - 2 - 4 = 1 > 0 \] Điểm \( P \) thuộc miền nghiệm. - Với điểm \( O(0; 0) \): \[ 0 + 2(0) - 4 = 0 + 0 - 4 = -4 < 0 \] Điểm \( O \) không thuộc miền nghiệm. - Với điểm \( Q(1; 2) \): \[ 1 + 2(2) - 4 = 1 + 4 - 4 = 1 > 0 \] Điểm \( Q \) thuộc miền nghiệm. Vậy, miền nghiệm của bất phương trình \( x + 2y - 4 > 0 \) không chứa điểm \( O(0, 0) \). Đáp án: C. \( O(0, 0) \) Câu 10. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC, mỗi góc nội tiếp đều bằng 60°. Ta sẽ tính từng thành phần của biểu thức \( P \). 1. Tính \( \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) \): - Góc giữa hai vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{BC} \) là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác đều, tức là 120° (vì tổng các góc trong tam giác đều là 180° và mỗi góc nội tiếp là 60°, nên góc ngoài là 180° - 60° = 120°). - Do đó, \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \). 2. Tính \( \cos(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}) \): - Góc giữa hai vectơ \( \overrightarrow{BC} \) và \( \overrightarrow{CA} \) là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác đều, tức là 120°. - Do đó, \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \). 3. Tính \( \cos(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{AB}) \): - Góc giữa hai vectơ \( \overrightarrow{CA} \) và \( \overrightarrow{AB} \) là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác đều, tức là 120°. - Do đó, \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \). Bây giờ, ta cộng các giá trị này lại: \[ P = \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) + \cos(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}) + \cos(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{AB}) \] \[ P = -\frac{1}{2} + -\frac{1}{2} + -\frac{1}{2} \] \[ P = -\frac{3}{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{-\frac{3}{2}} \]