cần giải thích $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN}=(\frac34\overrightarrow{AB}-\frac14\overrightarrow{AD})(\frac34\overrightarrow{AD}+\frac14\overrightarrow{AB})$,$=\frac1{16}(3\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AB}^2-3\overrightarrow{AD}^2-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB})$,$=\frac1{16}(0+3a^2-3a^2-0)=0$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải thích biểu thức $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN}=(\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD})(\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB})$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Phân tích các vectơ:
   - Giả sử $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{v}$.
   - Khi đó, $\overrightarrow{MB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{u} - \frac{1}{4}\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{MN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{v} + \frac{1}{4}\overrightarrow{u}$.

2. Tính tích vô hướng:
   - Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MN}$ là:
   $$
   \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MN} = \left(\frac{3}{4}\overrightarrow{u} - \frac{1}{4}\overrightarrow{v}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\overrightarrow{v} + \frac{1}{4}\overrightarrow{u}\right)
   $$

3. Khai triển tích vô hướng:
   - Áp dụng tính chất phân phối của tích vô hướng:
   $$
   = \frac{3}{4}\overrightarrow{u} \cdot \frac{3}{4}\overrightarrow{v} + \frac{3}{4}\overrightarrow{u} \cdot \frac{1}{4}\overrightarrow{u} - \frac{1}{4}\overrightarrow{v} \cdot \frac{3}{4}\overrightarrow{v} - \frac{1}{4}\overrightarrow{v} \cdot \frac{1}{4}\overrightarrow{u}
   $$

4. Tính từng thành phần:
   - $\frac{3}{4}\overrightarrow{u} \cdot \frac{3}{4}\overrightarrow{v} = \frac{9}{16}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$
   - $\frac{3}{4}\overrightarrow{u} \cdot \frac{1}{4}\overrightarrow{u} = \frac{3}{16}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}) = \frac{3}{16}a^2$ (với $a$ là độ dài của $\overrightarrow{AB}$)
   - $-\frac{1}{4}\overrightarrow{v} \cdot \frac{3}{4}\overrightarrow{v} = -\frac{3}{16}(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}) = -\frac{3}{16}a^2$ (với $a$ là độ dài của $\overrightarrow{AD}$)
   - $-\frac{1}{4}\overrightarrow{v} \cdot \frac{1}{4}\overrightarrow{u} = -\frac{1}{16}(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u})$

5. Tổng hợp lại:
   - Cộng các thành phần lại với nhau:
   $$
   \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MN} = \frac{9}{16}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) + \frac{3}{16}a^2 - \frac{3}{16}a^2 - \frac{1}{16}(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u})
   $$
   - Do $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$, nên:
   $$
   = \frac{9}{16}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) - \frac{1}{16}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})
   $$
   - Kết quả là:
   $$
   = \frac{8}{16}(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = 0
   $$

6. Kết luận:
   - Do $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0$ (giả sử $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ vuông góc), nên $\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MN} = 0$.

Vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MN}$ bằng 0.