Câu 2: Cho hình bình vuông ABCD có tâm O là giáo điểm hai đường chéo.

a) Với điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MA - MC = MB+MD.

b) Tính tích vô hướng CA .OC

Question

Câu 2: Cho hình bình vuông ABCD có tâm O là giáo điểm hai đường chéo.

a) Với điểm M tùy ý. Chứng minh rằng MA - MC = MB+MD.

b) Tính tích vô hướng CA .OC

Timi · Accepted Answer

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh rằng $ MA - MC = MB + MD $.

Cho hình bình hành $ ABCD $ với tâm $ O $ là giao điểm của hai đường chéo. Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các phép biến đổi vector.

1. Tính chất của hình bình hành:
   - Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, $ O $ là trung điểm của cả $ AC $ và $ BD $.

2. Biểu diễn vector:
   - Ta có: $ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} $
   - Tương tự: $ \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} $
   - Do $ O $ là trung điểm của $ AC $, ta có: $ \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC} $

3. Tính toán:
   - Từ các biểu diễn vector trên, ta có:
     $$
     \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}
     $$
   - Do $ \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC} $, ta có:
     $$
     \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MC} = -2\overrightarrow{OC}
     $$

4. Tương tự cho $ MB + MD $:
   - Ta có: $ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} $
   - Và: $ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} $
   - Do $ O $ là trung điểm của $ BD $, ta có: $ \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD} $

5. Tính toán:
   - Từ các biểu diễn vector trên, ta có:
     $$
     \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD}) = 2\overrightarrow{MO}
     $$
   - Do $ \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD} $, ta có:
     $$
     \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MO}
     $$

6. Kết luận:
   - Từ các kết quả trên, ta có:
     $$
     \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD}
     $$
   - Do đó, $ MA - MC = MB + MD $.

b) Tính tích vô hướng $ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} $.

1. Biểu diễn vector:
   - Ta có: $ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} $
   - Do $ O $ là trung điểm của $ AC $, ta có: $ \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC} $

2. Tính tích vô hướng:
   - Tích vô hướng $ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} $ được tính như sau:
     $$
     \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) \cdot \overrightarrow{OC}
     $$
   - Thay $ \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC} $ vào, ta có:
     $$
     \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = (-\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OC}) \cdot \overrightarrow{OC} = -2\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OC}
     $$
   - Do $ \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OC}|^2 $, ta có:
     $$
     \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = -2|\overrightarrow{OC}|^2
     $$

3. Kết luận:
   - Tích vô hướng $ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = -2|\overrightarrow{OC}|^2 $.

Vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh và tính toán theo yêu cầu của bài toán.