Giải hộ với

Câu 3: a) Đúng vì G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$ b) Đúng vì $AB=AC=a$ và $BC=a$ nên tam giác ABC đều suy ra góc BAC bằng $60^0$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.cos(60^0)=a.a.\frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$ c) Đúng vì $AB=AC=AD=a$ nên điểm A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD. Mặt khác, tam giác BCD có BC=BD=a nên điểm B cũng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng CD. Vậy đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD tại trung điểm của CD. Do đó, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ d) Sai vì $AC=AD=a$ và $CD=a\sqrt{2}$ nên tam giác ACD vuông cân tại A. Mặt khác, tam giác BCD có BC=BD=a và $CD=a\sqrt{2}$ nên tam giác BCD vuông cân tại B. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng $90^0$. Câu 4: a) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{OM}(-4;3;-1)$ Đúng vì tọa độ của điểm M là (-4;3;-1) nên tọa độ vectơ $\overrightarrow{OM}$ cũng là (-4;3;-1). b) Cho vectơ $\overrightarrow v=\overrightarrow i+\overrightarrow{2j}-3\overrightarrow k$ và $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow v.$ Tọa độ của điểm A là: $A(5;1;2)$ Để kiểm tra, ta cần biết tọa độ của điểm M là (-4;3;-1). Nếu $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{v}$ thì tọa độ của điểm A sẽ là: \[ A = M - \overrightarrow{v} = (-4; 3; -1) - (1; 2; -3) = (-4-1; 3-2; -1+3) = (-5; 1; 2) \] Vậy tọa độ của điểm A là (-5; 1; 2), không phải (5; 1; 2). Do đó, mệnh đề này là sai. c) Gọi G là trọng tâm của AOMN. Tọa độ hình chiếu của G trên Oxy là $(0;0;-\frac{4}{3})$ Trọng tâm G của bốn điểm A, O, M, N có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ của bốn điểm này. Giả sử tọa độ của điểm A là (x_A, y_A, z_A). Tọa độ của G là: \[ G = \left( \frac{x_A + 0 + (-4) + 2}{4}, \frac{y_A + 0 + 3 + (-1)}{4}, \frac{z_A + 0 + (-1) + (-3)}{4} \right) \] Hình chiếu của G trên Oxy có tọa độ là (0, 0, z_G). Ta cần kiểm tra xem z_G có bằng $-\frac{4}{3}$ hay không. \[ z_G = \frac{z_A + 0 + (-1) + (-3)}{4} = \frac{z_A - 4}{4} \] Để z_G = $-\frac{4}{3}$, ta cần: \[ \frac{z_A - 4}{4} = -\frac{4}{3} \] \[ z_A - 4 = -\frac{16}{3} \] \[ z_A = -\frac{16}{3} + 4 = -\frac{16}{3} + \frac{12}{3} = -\frac{4}{3} \] Do đó, nếu z_A = $-\frac{4}{3}$ thì mệnh đề này là đúng. d) I là trung điểm của đoạn MN. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{w} = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OI}$ là $(\frac{9}{2}; \frac{-5}{2}; -7)$ Trước tiên, ta tính tọa độ của điểm I: \[ I = \left( \frac{-4 + 2}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-1 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{2}{2}, \frac{-4}{2} \right) = (-1, 1, -2) \] Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{ON}$ là (2, -1, -3). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OI}$ là (-1, 1, -2). Bây giờ, ta tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{w}$: \[ \overrightarrow{w} = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OI} \] \[ \overrightarrow{w} = (3, 0, 0) + 2(2, -1, -3) - \frac{1}{2}(-1, 1, -2) \] \[ \overrightarrow{w} = (3, 0, 0) + (4, -2, -6) - \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -1 \right) \] \[ \overrightarrow{w} = (3 + 4 + \frac{1}{2}, 0 - 2 - \frac{1}{2}, 0 - 6 + 1) \] \[ \overrightarrow{w} = \left( \frac{15}{2}, -\frac{5}{2}, -5 \right) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{w}$ là $\left( \frac{15}{2}, -\frac{5}{2}, -5 \right)$, không phải $\left( \frac{9}{2}, -\frac{5}{2}, -7 \right)$. Do đó, mệnh đề này là sai. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng (nếu z_A = $-\frac{4}{3}$) d) Sai Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm khoảng thời gian trong đó vận tốc tức thời của chất điểm giảm. Điều này tương đương với việc tìm khoảng thời gian trong đó gia tốc của chất điểm là âm. Bước 1: Tìm vận tốc tức thời \( v(t) \). Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{-t^3}{3} + 18t^2 - 35t + 10 \right) = -t^2 + 36t - 35. \] Bước 2: Tìm gia tốc tức thời \( a(t) \). Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{d}{dt} (-t^2 + 36t - 35) = -2t + 36. \] Bước 3: Xác định khoảng thời gian trong đó gia tốc là âm. Gia tốc là âm khi: \[ -2t + 36 < 0 \] \[ -2t < -36 \] \[ t > 18. \] Do đó, trong khoảng thời gian từ \( t = 18 \) đến \( t = 40 \), gia tốc là âm, nghĩa là vận tốc tức thời giảm. Bước 4: Tính giá trị biểu thức \( P = 2b - 3a \). Trong bài toán này, \( a = 18 \) và \( b = 40 \). Do đó: \[ P = 2b - 3a = 2 \times 40 - 3 \times 18 = 80 - 54 = 26. \] Đáp số: \( P = 26 \). Câu 2. Để tìm số sản phẩm x tối đa hóa lợi nhuận của xí nghiệp A, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm lợi nhuận: \[ f(x) = TR - TC = (-2x^2 + 1312x) - (x^3 - 77x^2 + 1000x + 40000) \] \[ f(x) = -x^3 + 75x^2 + 312x - 40000 \] 2. Tìm đạo hàm của hàm lợi nhuận: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 75x^2 + 312x - 40000) \] \[ f'(x) = -3x^2 + 150x + 312 \] 3. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ -3x^2 + 150x + 312 = 0 \] \[ x^2 - 50x - 104 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 416}}{2} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2916}}{2} \] \[ x = \frac{50 \pm 54}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{50 + 54}{2} = 52 \] \[ x_2 = \frac{50 - 54}{2} = -2 \] Do x là số sản phẩm nên ta loại nghiệm âm, chỉ giữ lại nghiệm dương: \[ x = 52 \] 5. Kiểm tra tính chất cực trị: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 150x + 312) \] \[ f''(x) = -6x + 150 \] Tại x = 52: \[ f''(52) = -6(52) + 150 = -312 + 150 = -162 < 0 \] Vì f''(52) < 0, nên x = 52 là điểm cực đại. Vậy, số sản phẩm tối đa hóa lợi nhuận của xí nghiệp A là 52 sản phẩm. Câu 3. Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( M(400;100;9) \) và \( N(700;200;14) \). Vectơ \( \overrightarrow{MN} \) là: \[ \overrightarrow{MN} = (700 - 400, 200 - 100, 14 - 9) = (300, 100, 5) \] Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{MN} \) là: \[ \begin{cases} x = 400 + 300t \\ y = 100 + 100t \\ z = 9 + 5t \end{cases} \] Máy bay di chuyển từ điểm \( M \) đến điểm \( N \) trong 30 phút, tức là trong 0,5 giờ. Do đó, sau 6 phút nữa (tức là thêm 0,1 giờ), máy bay sẽ tiếp tục di chuyển theo cùng một hướng và cùng một vận tốc. Ta tính tham số \( t \) tương ứng với thời gian 0,1 giờ: \[ t = \frac{0,1}{0,5} = 0,2 \] Thay \( t = 0,2 \) vào phương trình tham số để tìm tọa độ của điểm \( Q \): \[ \begin{cases} x = 400 + 300 \cdot 0,2 = 400 + 60 = 460 \\ y = 100 + 100 \cdot 0,2 = 100 + 20 = 120 \\ z = 9 + 5 \cdot 0,2 = 9 + 1 = 10 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm \( Q \) là \( (460, 120, 10) \). Bây giờ, ta tính \( x + 2y + z \): \[ x + 2y + z = 460 + 2 \cdot 120 + 10 = 460 + 240 + 10 = 690 + 10 = 700 \] Cuối cùng, ta tính \( x + 2y + z - 1215 \): \[ x + 2y + z - 1215 = 700 - 1215 = -515 \] Đáp số: \( -515 \) Câu 4. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta cần biết tọa độ của điểm A và điểm B. Từ hình vẽ, ta thấy: - Điểm A có tọa độ là (1; 2; 3). - Điểm B có tọa độ là (4; 5; 6). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z) \] \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1; 5 - 2; 6 - 3) \] \[ \overrightarrow{AB} = (3; 3; 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là (3; 3; 3). Tiếp theo, ta cần tính giá trị của \(a + c\): \[ a + c = 3 + 3 = 6 \] Đáp số: \(a + c = 6\)