Giải giúp rm bới mn

Câu 1. Để tìm số điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \), ta cần phân tích dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Ta có: \[ f'(x) = (-3x - 9)(x + 1)(x + 2) \] Bước 1: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ -3x - 9 = 0 \Rightarrow x = -3 \] \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \] Bước 2: Xác định dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng giữa các điểm \( x = -3, -2, -1 \): - Khi \( x < -3 \): \[ -3x - 9 > 0, \quad x + 1 < 0, \quad x + 2 < 0 \] \[ f'(x) = (+)(-)(-) = + \] - Khi \( -3 < x < -2 \): \[ -3x - 9 < 0, \quad x + 1 < 0, \quad x + 2 < 0 \] \[ f'(x) = (-)(-)(-) = - \] - Khi \( -2 < x < -1 \): \[ -3x - 9 < 0, \quad x + 1 < 0, \quad x + 2 > 0 \] \[ f'(x) = (-)(-)(+) = + \] - Khi \( x > -1 \): \[ -3x - 9 < 0, \quad x + 1 > 0, \quad x + 2 > 0 \] \[ f'(x) = (-)(+)(+) = - \] Bước 3: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu dựa vào dấu của đạo hàm: - \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm tại \( x = -3 \), do đó \( x = -3 \) là điểm cực đại. - \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = -2 \), do đó \( x = -2 \) là điểm cực tiểu. - \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm tại \( x = -1 \), do đó \( x = -1 \) là điểm cực đại. Vậy, số điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \) là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 2. Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = f(x) = -2x^3 + 6x - 3 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 6x - 3) = -6x^2 + 6 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ -6x^2 + 6 = 0 \] \[ -6(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra đạo hàm ở các điểm lân cận để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Tại \( x = -1 \): \[ f'(-1) = -6(-1)^2 + 6 = -6 + 6 = 0 \] \[ f'(-1 + h) = -6((-1 + h)^2) + 6 = -6(1 - 2h + h^2) + 6 = -6 + 12h - 6h^2 + 6 = 12h - 6h^2 \] Khi \( h \) nhỏ hơn 0, \( f'(-1 + h) < 0 \). Khi \( h \) lớn hơn 0, \( f'(-1 + h) > 0 \). Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): \[ f'(1) = -6(1)^2 + 6 = -6 + 6 = 0 \] \[ f'(1 + h) = -6((1 + h)^2) + 6 = -6(1 + 2h + h^2) + 6 = -6 - 12h - 6h^2 + 6 = -12h - 6h^2 \] Khi \( h \) nhỏ hơn 0, \( f'(1 + h) > 0 \). Khi \( h \) lớn hơn 0, \( f'(1 + h) < 0 \). Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực đại. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại: \[ f(1) = -2(1)^3 + 6(1) - 3 = -2 + 6 - 3 = 1 \] Vậy giá trị cực đại của hàm số là 1, đạt được khi \( x = 1 \). Đáp án đúng là: A. 1. Câu 3. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Trong bảng xét dấu của \( f'(x) \): - Khi \( f'(x) < 0 \), hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến. - Khi \( f'(x) > 0 \), hàm số \( y = f(x) \) đồng biến. Dựa vào bảng xét dấu của \( f'(x) \), ta thấy: - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (5; 7) \). Do đó, hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (5; 7) \). Vậy đáp án đúng là: A. \( (5; 7) \). Câu 4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 + \frac{3x^2}{2} - 6x - 3 \) trên nửa khoảng \((-1; 3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left( x^3 + \frac{3x^2}{2} - 6x - 3 \right) = 3x^2 + 3x - 6 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 + 3x - 6 = 0 \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Phương trình này có các nghiệm: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 3. Kiểm tra các điểm cực trị nằm trong khoảng \((-1; 3]\): - \( x = 1 \) nằm trong khoảng \((-1; 3]\) - \( x = -2 \) không nằm trong khoảng \((-1; 3]\) 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của khoảng: - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 + \frac{3 \cdot 1^2}{2} - 6 \cdot 1 - 3 = 1 + \frac{3}{2} - 6 - 3 = 1 + 1.5 - 6 - 3 = -6.5 = -\frac{13}{2} \] - Tại \( x = -1 \) (biên trái của khoảng): \[ y(-1) = (-1)^3 + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} - 6 \cdot (-1) - 3 = -1 + \frac{3}{2} + 6 - 3 = -1 + 1.5 + 6 - 3 = 3.5 = \frac{7}{2} \] - Tại \( x = 3 \) (biên phải của khoảng): \[ y(3) = 3^3 + \frac{3 \cdot 3^2}{2} - 6 \cdot 3 - 3 = 27 + \frac{27}{2} - 18 - 3 = 27 + 13.5 - 18 - 3 = 27 + 13.5 - 21 = 19.5 = \frac{39}{2} \] 5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( y(1) = -\frac{13}{2} \) - \( y(-1) = \frac{7}{2} \) - \( y(3) = \frac{39}{2} \) Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là \( -\frac{13}{2} \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^3 + \frac{3x^2}{2} - 6x - 3 \) trên nửa khoảng \((-1; 3]\) là \( -\frac{13}{2} \). Đáp án đúng là D. \( -\frac{13}{2} \). Câu 5. Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-4; 3]\), ta cần quan sát đồ thị của hàm số trên đoạn này. Từ đồ thị, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-4; 3]\) là \( M = 5 \), đạt được tại \( x = -2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-4; 3]\) là \( m = -1 \), đạt được tại \( x = 3 \). Bây giờ, ta tính \( 3M + 2m \): \[ 3M + 2m = 3 \times 5 + 2 \times (-1) = 15 - 2 = 13 \] Vậy đáp án đúng là D. 13. Đáp án: D. 13. Câu 6. Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{-2x^2 - 8x + 21}{4 - 2x} \), ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Phép chia đa thức: Ta chia \(-2x^2 - 8x + 21\) cho \(4 - 2x\). \[ \begin{array}{r|rr} & -2x^2 - 8x + 21 \\ \hline 4 - 2x & x + 6 \\ & -2x^2 + 4x \\ \hline & -12x + 21 \\ & -12x + 24 \\ \hline & -3 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{-2x^2 - 8x + 21}{4 - 2x} = x + 6 + \frac{-3}{4 - 2x} \] 2. Xác định đường tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), phần dư \(\frac{-3}{4 - 2x}\) sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = x + 6 \] Vậy đáp án đúng là: B. \( y = x + 6 \). Câu 7. Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị đã cho hay không. 1. Kiểm tra hàm số \( y = x^3 + 3x^2 \): - Ta thấy rằng khi \( x = 0 \), \( y = 0 \). Đồ thị đi qua gốc tọa độ. - Tuy nhiên, đồ thị của hàm số này sẽ có dạng cong lên ở phía trên do hệ số của \( x^3 \) là dương và hệ số của \( x^2 \) cũng là dương. Điều này không phù hợp với đồ thị đã cho. 2. Kiểm tra hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2x + 2 \): - Ta thấy rằng khi \( x = 0 \), \( y = 2 \). Đồ thị không đi qua gốc tọa độ. - Do đó, hàm số này không phù hợp với đồ thị đã cho. 3. Kiểm tra hàm số \( y = -x^3 - 3x^2 + 2x \): - Ta thấy rằng khi \( x = 0 \), \( y = 0 \). Đồ thị đi qua gốc tọa độ. - Tuy nhiên, đồ thị của hàm số này sẽ có dạng cong xuống ở phía trên do hệ số của \( x^3 \) là âm và hệ số của \( x^2 \) cũng là âm. Điều này không phù hợp với đồ thị đã cho. 4. Kiểm tra hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \): - Ta thấy rằng khi \( x = 0 \), \( y = 0 \). Đồ thị đi qua gốc tọa độ. - Hệ số của \( x^3 \) là dương, hệ số của \( x^2 \) là âm và hệ số của \( x \) là dương. Điều này phù hợp với đồ thị đã cho. Do đó, đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) là đúng. Đáp án: D. \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \). Câu 8. Để tìm khẳng định đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một bằng cách sử dụng các tính chất của vectơ. A. $\overrightarrow{CF} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FB}$ Ta có: $\overrightarrow{CF} = -\overrightarrow{FC}$ $\overrightarrow{CF} - \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{FC} - \overrightarrow{BC}$ Điều này không giống với $\overrightarrow{FB}$, vì $\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CB}$. B. $\overrightarrow{FB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{FC}$ Ta có: $\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CB}$ $\overrightarrow{FB} - \overrightarrow{CB} = (\overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CB}) - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{FC}$ Điều này đúng. C. $\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{BC}$ Ta có: $\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CB}$ $\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC} = (\overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CB}) + \overrightarrow{FC} = 2\overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CB}$ Điều này không giống với $\overrightarrow{BC}$. D. $\overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FB}$ Ta có: $\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{CB}$ $\overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FC} + (-\overrightarrow{CB}) = \overrightarrow{FC} - \overrightarrow{CB}$ Điều này không giống với $\overrightarrow{FB}$. Vậy khẳng định đúng là: B. $\overrightarrow{FB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{FC}$ Câu 9. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{b}$, ta cần xác định các thành phần của nó theo các đơn vị vectơ cơ bản $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{k}$. Ta có: \[ \overrightarrow{b} = 10\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 9\overrightarrow{k} \] Từ đây, ta thấy rằng: - Thành phần theo hướng $\overrightarrow{i}$ là 10. - Thành phần theo hướng $\overrightarrow{j}$ là 2. - Thành phần theo hướng $\overrightarrow{k}$ là -9. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{b}$ là $(10, 2, -9)$. Vậy đáp án đúng là: C. $(10; 2; -9)$. Câu 10. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{LF}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm $L$ từ tọa độ của điểm $F$. Tọa độ của điểm $F$ là $(6, 3, -6)$. Tọa độ của điểm $L$ là $(-4, -3, -5)$. Ta có: \[ \overrightarrow{LF} = F - L = (6 - (-4), 3 - (-3), -6 - (-5)) = (6 + 4, 3 + 3, -6 + 5) = (10, 6, -1) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{LF}$ là $(10, 6, -1)$. Do đó, đáp án đúng là: B. $(10, 6, -1)$. Câu 11. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung vị của mỗi nhóm: - Nhóm [44; 51): Trung vị = $\frac{44 + 51}{2} = 47,5$ - Nhóm [51; 58): Trung vị = $\frac{51 + 58}{2} = 54,5$ - Nhóm [58; 65): Trung vị = $\frac{58 + 65}{2} = 61,5$ - Nhóm [65; 72): Trung vị = $\frac{65 + 72}{2} = 68,5$ - Nhóm [72; 79): Trung vị = $\frac{72 + 79}{2} = 75,5$ - Nhóm [79; 86): Trung vị = $\frac{79 + 86}{2} = 82,5$ 2. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Số lượng người tổng cộng: $27 + 29 + 24 + 25 + 9 + 28 = 142$ - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(47,5 \times 27) + (54,5 \times 29) + (61,5 \times 24) + (68,5 \times 25) + (75,5 \times 9) + (82,5 \times 28)}{142} \] \[ \bar{x} = \frac{1282,5 + 1580,5 + 1476 + 1712,5 + 679,5 + 2310}{142} = \frac{9041}{142} \approx 63,67 \] 3. Tính phương sai: - Phương sai được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trong đó, $f_i$ là tần số của nhóm thứ i, $x_i$ là trung vị của nhóm thứ i, $\bar{x}$ là trung bình cộng, và n là tổng số lượng người. - Ta tính từng phần: \[ s^2 = \frac{(27 \times (47,5 - 63,67)^2) + (29 \times (54,5 - 63,67)^2) + (24 \times (61,5 - 63,67)^2) + (25 \times (68,5 - 63,67)^2) + (9 \times (75,5 - 63,67)^2) + (28 \times (82,5 - 63,67)^2)}{142} \] \[ s^2 = \frac{(27 \times (-16,17)^2) + (29 \times (-9,17)^2) + (24 \times (-2,17)^2) + (25 \times (4,83)^2) + (9 \times (11,83)^2) + (28 \times (18,83)^2)}{142} \] \[ s^2 = \frac{(27 \times 261,4689) + (29 \times 84,0889) + (24 \times 4,7089) + (25 \times 23,3289) + (9 \times 140,0489) + (28 \times 354,5689)}{142} \] \[ s^2 = \frac{7059,6603 + 2438,5781 + 113,0136 + 583,2225 + 1260,4401 + 9927,9292}{142} \] \[ s^2 = \frac{21382,8438}{142} \approx 150,58 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 150,58. Đáp án đúng là B. 150,58. Câu 12. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. Trong mẫu số liệu này, khoảng tuổi nhỏ nhất là [15 ; 22) và khoảng tuổi lớn nhất là [43 ; 50). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: 50 - 15 = 35 Vậy đáp án đúng là A. 35. Câu 1. Dựa vào bảng xét dấu của $f'(x)$, ta có: - Trên khoảng $(-\infty; -5)$, ta có $f'(x) < 0$, do đó hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(-5; -4)$, ta có $f'(x) > 0$, do đó hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(-4; 0)$, ta có $f'(x) < 0$, do đó hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(0; +\infty)$, ta có $f'(x) > 0$, do đó hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng này. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: a) $f(1)$ là giá trị cực đại của hàm số đã cho. Lập luận: Trên khoảng $(0; +\infty)$, hàm số đồng biến, do đó $f(1)$ không phải là giá trị cực đại của hàm số. Khẳng định này sai. b) $f(-5) > f(-4)$. Lập luận: Trên khoảng $(-5; -4)$, hàm số đồng biến, do đó $f(-5) < f(-4)$. Khẳng định này sai. c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. Lập luận: Trên khoảng $(0; +\infty)$, ta có $f'(x) > 0$, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. Khẳng định này đúng. d) Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là $x = 0$. Lập luận: Trên khoảng $(-4; 0)$, hàm số nghịch biến và trên khoảng $(0; +\infty)$, hàm số đồng biến, do đó điểm cực tiểu của hàm số là $x = 0$. Khẳng định này đúng. Kết luận: - a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Đúng Câu 2. a) Ta có: \[ \overrightarrow{d} + \overrightarrow{a} = (2; 7; 2) + (-2; 0; -6) = (2 + (-2); 7 + 0; 2 + (-6)) = (0; 7; -4) \] Vậy $\overrightarrow{d} + \overrightarrow{a} = (0; 7; -4)$. b) Ta có: \[ 2\overrightarrow{d} - 4\overrightarrow{a} = 2(2; 7; 2) - 4(-2; 0; -6) = (4; 14; 4) - (-8; 0; -24) = (4 + 8; 14 + 0; 4 + 24) = (12; 14; 28) \] Vậy $2\overrightarrow{d} - 4\overrightarrow{a} = (12; 14; 28)$. c) Ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 0 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \] Vậy $|\overrightarrow{a}| = 2\sqrt{10}$. d) Ta tính $\cos(\overrightarrow{d}; \overrightarrow{a})$: \[ \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{a} = 2 \cdot (-2) + 7 \cdot 0 + 2 \cdot (-6) = -4 + 0 - 12 = -16 \] \[ |\overrightarrow{d}| = \sqrt{2^2 + 7^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 49 + 4} = \sqrt{57} \] \[ |\overrightarrow{a}| = 2\sqrt{10} \] \[ \cos(\overrightarrow{d}; \overrightarrow{a}) = \frac{\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{d}| |\overrightarrow{a}|} = \frac{-16}{\sqrt{57} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{-16}{2\sqrt{570}} = \frac{-8}{\sqrt{570}} = -\frac{8\sqrt{570}}{570} = -\frac{4\sqrt{570}}{285} \] Vậy $\cos(\overrightarrow{d}; \overrightarrow{a}) = -\frac{4\sqrt{570}}{285}$. Câu 3. Để giải quyết các khẳng định về tính đúng-sai của các thông số thống kê từ bảng số liệu đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tính số trung bình của mẫu số liệu Số trung bình của mẫu số liệu được tính theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Bảng tính toán: | Khoảng tuổi | Số người (\(f_i\)) | Giá trị trung tâm (\(x_i\)) | \(f_i \times x_i\) | |-------------|-------------------|---------------------------|--------------------| | [20; 28) | 12 | 24 | 288 | | [28; 36) | 10 | 32 | 320 | | [36; 44) | 10 | 40 | 400 | | [44; 52) | 2 | 48 | 96 | | [52; 60) | 12 | 56 | 672 | | [60; 68) | 12 | 64 | 768 | Tổng số người: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i = 12 + 10 + 10 + 2 + 12 + 12 = 58 \] Tổng \( f_i \times x_i \): \[ \sum_{i=1}^{n} f_i x_i = 288 + 320 + 400 + 96 + 672 + 768 = 2544 \] Số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{2544}{58} \approx 43,86 \] Kết luận: Khẳng định a) là đúng. Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai của mẫu số liệu được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Bảng tính toán: | Khoảng tuổi | Số người (\(f_i\)) | Giá trị trung tâm (\(x_i\)) | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) | \(f_i \times (x_i - \bar{x})^2\) | |-------------|-------------------|---------------------------|------------------|----------------------|--------------------------------| | [20; 28) | 12 | 24 | -19,86 | 394,4196 | 4733,0352 | | [28; 36) | 10 | 32 | -11,86 | 140,6596 | 1406,596 | | [36; 44) | 10 | 40 | -3,86 | 14,8996 | 148,996 | | [44; 52) | 2 | 48 | 4,14 | 17,1396 | 34,2792 | | [52; 60) | 12 | 56 | 12,14 | 147,3796 | 1768,5552 | | [60; 68) | 12 | 64 | 20,14 | 405,6196 | 4867,4352 | Tổng \( f_i \times (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 4733,0352 + 1406,596 + 148,996 + 34,2792 + 1768,5552 + 4867,4352 = 12958,897 \] Phương sai: \[ s^2 = \frac{12958,897}{58} \approx 223,43 \] Kết luận: Khẳng định b) là đúng. Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu được tính theo công thức: \[ s = \sqrt{s^2} \] \[ s = \sqrt{223,43} \approx 14,95 \] Kết luận: Khẳng định c) là đúng. Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu Khoảng tứ phân vị được tính theo công thức: \[ Q_3 - Q_1 \] Trước tiên, chúng ta cần tìm các giá trị Q1 và Q3. Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất) Q1 nằm ở vị trí: \[ \frac{n+1}{4} = \frac{58+1}{4} = 14,75 \] Vị trí này nằm trong khoảng [28; 36). Do đó: \[ Q1 = 28 + \left(\frac{14,75 - 12}{10}\right) \times 8 = 28 + 2,2 = 30,2 \] Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba) Q3 nằm ở vị trí: \[ \frac{3(n+1)}{4} = \frac{3 \times 59}{4} = 44,25 \] Vị trí này nằm trong khoảng [52; 60). Do đó: \[ Q3 = 52 + \left(\frac{44,25 - 42}{12}\right) \times 8 = 52 + 1,8333 = 53,8333 \] Khoảng tứ phân vị: \[ Q3 - Q1 = 53,8333 - 30,2 = 23,6333 \] Kết luận: Khẳng định d) là sai vì khoảng tứ phân vị là 23,6333, không phải 28,33. Đáp án cuối cùng: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 4. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các đỉnh của hình lập phương ABCD.$A_1B_1C_1D_1$ trong hệ tọa độ Oxyz. 1. Tọa độ của điểm O: - Điểm O là tâm của hình vuông ABCD, do đó tọa độ của O là $(0, 0, 0)$. 2. Tọa độ của điểm B: - Điểm B nằm trên tia Ox, vì vậy tọa độ của B là $(\frac{7\sqrt{2}}{2}, 0, 0)$. 3. Tọa độ của điểm C: - Điểm C nằm trên tia Oy, vì vậy tọa độ của C là $(0, \frac{7\sqrt{2}}{2}, 0)$. 4. Tọa độ của điểm D: - Điểm D nằm trên tia Oz, vì vậy tọa độ của D là $(0, 0, 0)$. 5. Tọa độ của điểm A: - Điểm A nằm ở góc trái dưới của mặt đáy ABCD, vì vậy tọa độ của A là $(-\frac{7\sqrt{2}}{2}, 0, 0)$. 6. Tọa độ của điểm $A_1$: - Điểm $A_1$ nằm thẳng đứng trên điểm A với khoảng cách 7 đơn vị, vì vậy tọa độ của $A_1$ là $(-\frac{7\sqrt{2}}{2}, 0, 7)$. 7. Tọa độ của điểm $B_1$: - Điểm $B_1$ nằm thẳng đứng trên điểm B với khoảng cách 7 đơn vị, vì vậy tọa độ của $B_1$ là $(\frac{7\sqrt{2}}{2}, 0, 7)$. 8. Tọa độ của điểm $C_1$: - Điểm $C_1$ nằm thẳng đứng trên điểm C với khoảng cách 7 đơn vị, vì vậy tọa độ của $C_1$ là $(0, \frac{7\sqrt{2}}{2}, 7)$. 9. Tọa độ của điểm $D_1$: - Điểm $D_1$ nằm thẳng đứng trên điểm D với khoảng cách 7 đơn vị, vì vậy tọa độ của $D_1$ là $(0, 0, 7)$. Như vậy, ta đã xác định được tọa độ của các điểm như sau: - Tọa độ điểm $C_1 = (0, \frac{7\sqrt{2}}{2}, 7)$. - Tọa độ điểm $B_1 = (\frac{7\sqrt{2}}{2}, 0, 7)$. - Tọa độ điểm $D_1 = (-\frac{7\sqrt{2}}{2}, 0, 7)$. - Tọa độ điểm $C = (0, \frac{7\sqrt{2}}{2}, 0)$. Đáp án đúng là: a) Tọa độ điểm $C_1 = (0, \frac{7\sqrt{2}}{2}, 7)$. b) Tọa độ điểm $B_1 = (\frac{7\sqrt{2}}{2}, 0, 7)$. c) Tọa độ điểm $D_1 = (-\frac{7\sqrt{2}}{2}, 0, 7)$. d) Tọa độ điểm $C = (0, \frac{7\sqrt{2}}{2}, 0)$. Câu 1. Để tìm giá trị cực tiểu và cực đại của hàm số \( y = f(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} + x^2 - 1\right) = x^2 + 2x \] 2. Tìm các điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = x^2 + 2x = 0 \] \[ x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x) = 2x + 2 \] \[ f''(0) = 2(0) + 2 = 2 > 0 \] Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2 < 0 \] Do đó, \( x = -2 \) là điểm cực đại. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ y_1 = f(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 1 = -1 \] - Tại \( x = -2 \): \[ y_2 = f(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 - 1 = \frac{-8}{3} + 4 - 1 = \frac{-8}{3} + \frac{9}{3} = \frac{1}{3} \] 5. Tính \( P = 4y_1 + y_2 \): \[ P = 4(-1) + \frac{1}{3} = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{12}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3} \approx -3.7 \] Vậy, giá trị của \( P \) là: \[ P \approx -3.7 \]